绝密★启用前长郡中学2021届高三开学摸底考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x ∈N|12<2x ＋1<16}，B ＝{x|x 2－4x ＋m ＝0}，若1∈A ∩B ，则A ∪B ＝ A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}2.已知复数z 满足z(1＋2i)＝|4－3i|(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为A.－2B.－2iC.1D.i3.f(x)＝1cosxx 的部分图象大致是4.饕餮(t āo ti è)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期。

有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点B 的概率为A.12B.14C.116D.185.已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为56，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为A.2212xy+= B.2214xy+= C.22143x y+= D.22142x y+=6.命题p：f(x)＝x＋alnx(a∈R)在区间[1，2]上单调递增；命题q：存在x∈[2，e]，使得1 lnxx-－e＋4＋2a≥0成立(e为自然对数的底数)，若p且q为假，p或q为真，则实数a的取值范围是A.(－2，－32) B.(－2，－32)∪[－1，＋∞) C.[－32，－1) D.(2，－32)∪[1，＋∞)7.已知A(2，1)B(23，0)，C，D四点均在函数f(x)＝log2axx b+的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积是A.265B.263C.525D.5238.设数列{a n}的前n项和为S n，当n∈N*时，a n，n＋12，a n＋1成等差数列，若S n＝2020，且a2<3，则n的最大值为A.63B.64C.65D.66二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.2020年两会“部长通道”工信部部长表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，右图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图。

则A.2022年我国5G 用户规模年增长率最高B.2022年我国5G 用户规模年增长户数最多C.从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D.这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差10.如图已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤2π)的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，BC 2BD =，∠OCB ＝3π，|OA|＝2，|AD|＝2213。

则下列说法正确的有A.f(x)的最小正周期为12B.φ＝－6π C.f(x)的最大值为163D.f(x)在区间(14，17)上单调递增 11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过AB 作一垂直于直线B 1C 的平面交平面ADD 1A 1于直线l ，动点M 在直线l 上，则A.B 1C//lB.B 1C ⊥lC.点M 到平面BCC 1B 1的距离等于线段AB 的长度D.直线BM 与直线CD 所成角的余弦值的最大值是5312.若存在实常数k 和b ，使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F(x)≥kx ＋b 和G(x)≤kx ＋b 恒成立，则称此直线y ＝kx ＋b 为F(x)和G(x)的“隔离直线”，已知函数f(x)＝x 2(x ∈R)，g(x)＝1x(x<0)，h(x)＝2elnx(e 为自然对数的底数)，则 A.m(x)＝f(x)－g(x)在x ∈(0)内单调递增 B.f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为－4C.f(x)和g(x)间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[－4，1]D.f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”y ＝－e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n 种方法，则(2x ＋1x)n 展开式的常数项为 。

(用数字作答)14.设a ，b ，c 为单位向量，向量a 与b 的夹角为120°，则(a －c)·(b －c)的取值范围是 。

15.已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB|＝2，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线y ＝1相切。

若存在定点P ，使得当A 运动时，|MA|－|MP|为定值，则点P 的坐标为 。

16.在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC(∠BPC<4)，M ，N 分别为侧棱PA ，PC 上的动点，设直线MN 与平面PAB 所成的角为α。

当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为 。

四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)在①数列{a n }为等差数列，且a 3＋a 7＝18；②数列{a n }为等比数列，且a 2a 6＝64，a 2a 3<0；③S n －1＝a n －1(n ≥2)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答。

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1， 。

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数k ∈{8，9，10}，使S k >512，若存在，求出相应的正整数k 的值；若不存在，请说明理由。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18.(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，若sin 2A＋sin2C－sin2B＝23sinAsinC，c＝2。

(I)求sinB的值；(II)设∠BAD＝α，∠DAC＝β，若△ADC的面积为223，求sinsinαβ的值。

19.(本小题满分12分)据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线。

已知该包装胶带的质量以某项指标值k为衡量标准。

为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值)：(1)由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈10.03。

记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k在区间(50.54，80.63]之外的包装胶带个数，求P(X ＝1)及X的数学期望(精确到0.001)；(2)已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y(单位：元)的关系如下表所示：(t∈(1，4))假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内)，问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?试说明理由。

参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<z≤μ＋σ)＝0.6827，P(µ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＝0.9973，0.818629≈0.0030，ln13≈2.6。

20.(本小题满分12分)已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱A1B1，AB的中点，点A1在底面投影为AC 边的中点O ，A 1C ∩AC 1＝P ，A 1F ∩AE ＝G 。

(1)证明：PG//平面A 1B 1C 1；(2)若AB ＝6，AA 1＝5，点M 为棱A 1B 1上的动点，当直线AM 与平面A 1FC 所成角的正弦值2117M 的位置。

21.(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于D ，E 两点，且|DE|＝4。

(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 过点A(2，0)且与抛物线C 交于P ，Q 两点，点R 在抛物线C 上，点N 在x 轴上，NP NQ NR 0++=，直线PR 交x 轴于点B ，且点B 在点A 的右侧，记△APN 的面积为S 1，△RNB 的面积为S 2，求12S S 的最小值。

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数。

(1)若关于x 的不等式mf(x)≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)已知正数a 满足：存在x ∈[1，＋∞)，使得f(x 0)<a(－x 03＋3x 0)成立。

试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论。