• 1．等比数列的“子数列”是否成等比数列？
• 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 • (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比
数列；
• (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列； • 偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列； • (3)若{kn}成等差数列且公差为d，则{akn}是公比为qd
• A．6
B．10
• C．15
D．20
• 解析： 由题意知：a2a4＝a32，a4a6＝a52 • ∴a32＋2a3a5＋a52＝36，即(a3＋a5)2＝36， • ∴a3＋a5＝6，故选6. • 答案： A
• 3．在等比数列{an}中，a1·a9＝256，a4＋a6 ＝40，则公比q＝________.
则 Sn＝250n＋nn－ 2 1×50＝25n2＋225n， 令 25n2＋225n≥4 750，即 n2＋9n－190≥0， 解得 n≤－19 或 n≥10，而 n 是正整数． ∴n≥10.4 分 故到 2018 年年底，该市历年所建中低价房的累计面积 将首次不少于 4 750 万平方米.6 分
【正解】 因为 a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝0 的两个根，
性质5
若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k、 m∈N*)组成公差为md的等差数列
• 等比数列的常用性质
性质1 性质2
性质3
通项公式的推广：an＝am· qn－m (n，m∈N*) 若{则ana}为k·等al＝比数am列·a，n 且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，
若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，a1n， {an2}，{an·bn}，abnn仍是等比数列
B．公比为q2的等比数列
• C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
解析： 设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为 bn＝anan＋1.
所以aan＋na1an＋n＋12＝aan＋n 2＝q2，数列{bn}是公比为 q2 的等比数列．
• 答案： B
• 2 ． 已 知 {an} 是 等 比 数 列 ， 且 an>0 ， a2a4 ＋ 2a3a5＋a4a6＝36，那么a3＋a5的值等于( )
【错解】 因为 a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝0 的两个根， 所以a5＋a9＝178， 又因为 a7 是 a5，a9 的等比中项，
a5·a9＝1. 所以 a72＝a5·a9＝1，即 a7＝±1.
【错因】 上述解法忽视了对 a7 符号的讨论，由于 a5，
a9 均为正数且公比为 q＝± aa57＝± aa97，所以不论 q 取正 还是取负，a7 始终与 a5 和 a9 符号相同．
解析： (1)由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)…a9＝a917＝(－2)17 ＝－217.
(2)∵{an}成等比数列，∴a2，a6，a10 仍成等比数列， ∴a62＝a2a10， ∴a10＝aa622＝16222＝13 122. (3)∵{an}成等比数列， ∴a3·a4·a5，a6·a7·a8，a9·a10·a11 仍成等比数列， 此数列公式 q＝aa63aa74aa85＝234＝8， a9a10a11＝(a6a7a8)·q＝24×8＝192.
的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差 数列，则对应的项依次成等比数列．
• 2．等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列
等比数列
不 (1)强调每一项与前一项的 同 差； 点 (2)a1和d可以为零；
(3)等差中项唯一.
(1)强调每一项与前一项的 比；
(2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值．
由题意得a－ad2＋a＋d＝21 ， a－d＋a＝18
解得ad＝ ＝162 或ad＝ ＝2－4792
，
∴这四个数为 3,6,12,18 或745，445，247，94.
• 方法三：设第一个数为a，则第四个数为21－ a，设第二个数为b，则第三个数为18－b， 则这四个数为a，b,18－b,21－a，
性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m、n∈N*)
性质2
若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则ak＋al＝am＋an
性质3
若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1，a1＋an＝ a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
性质4
若{an}、{bn}分别是以d1、d2为公差的等差数列，则 {pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列
• (1)该市历年所建中低价房的累计面积
• (以2009年为累计的第一年)将首次不
• 少于4 750万平方米？
• (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积 的比例首次大于85%.
• 本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后， 找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列．
[规范作答] (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意 可知，{an}是等差数列，其中 a1＝250，d＝50，
• 等比数列的性质
• 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质 的由来．
• 2.理解等比数列的性质并能应用． • 3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
• 1.对等比数列性质的考查是本课时的热点． • 2.本课时内容常与等差数列、函数、不等式结
合命题．
• 3.多以选择题和填空题的形式考查.
• 等差数列的常用性质
• 3.2009年，某县甲、乙两个林场森林木材的存 量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比 上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年 递减20%.
• (1)求哪一年两林场木材的总存量相等？
• (2)问两林场木材的总量到2013年能否翻一番？
解析： (1)由题意可得 16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1， 解得 n＝2， 故到 2011 年两林场木材的总存量相等． (2)令 n＝5，则 a5＝16a544＋25a454<2(16a＋25a)， 故到 2013 年不能翻一番．
由题意得ab＋18－ 21b－＝ab＝2 218－b ，
解得ab＝ ＝36 或ab＝ ＝744455
，
∴这四个数为 3,6,12,18 或745，445，247，94.
[题后感悟] 合理地设出所求数中的三个，根据题意得 出另一个是解决这类问题的关键．一般来说，三个数成等比 数列时可设aq，a，aq；三个数成等差数列时可设 a－d，a，a ＋d；四个数成等差数列时，可设为 a－3d，a－d，a＋d，a ＋3d，但当四个数成等比数列时，不能设成qa3，aq，aq，aq3， 这样隐含了公比 q2>0 这一条件，可能会产生失根．

A．5 2
B．7
C．6
D．4 2
[解题过程] a1·a2·a3＝a23＝5 a7·a8·a9＝a83＝10 a4·a5·a6＝a53 又∵a52＝a2·a8，∴a53＝(a2·a8)32 ∴a4·a5·a6＝(a23a83)12＝(5×10)12＝5 2.故选 A.
• 答案： A • [题后感悟] 有关等比数列的计算问题，要灵
• 2.若条件改为：已知四个数，前3个数成等差 数列，后三个数成等比数列，中间两个数之 积为16，首尾两数之积为－128，则如何求 这四个数？
解析： 依题意设后三个数为aq，a，aq，
又∵前三个数成等差数列，
∴第一个数为2qa－a，则由已知得：
aq·a＝16
①
2qa－a·aq＝－128
②
由①得 a2＝16q
解析： ∵a22＝a1a3，代入已知，
得 a23＝8，∴a2＝2.
设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
整理，得 2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2 或 q＝12.
∴aq1＝＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
an＝2n－1 或 an＝4·12n－1.
已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an} 中 ， a1·a2·a3 ＝ 5 ， a7·a8·a9＝10，则 a4·a5·a6＝( )
解析： 根据 a1·a9＝a4·a6，
列方程组aa44＋ ·a6a＝6＝25460.， 解得aa46＝＝382，， 或aa46＝＝83，2. ∴q2＝aa46＝382＝14或 q2＝382＝4. ∴答q案＝：±12或±q12＝或±±22.
• 4．已知数列{an}为等比数列，若a1＋a2＋a3 ＝7，a1·a2·a3＝8，求数列{an}的通项公式．
• (2)设新建住房面积构成数列{bn}， • 由题意可知，{bn}是等比数列， • 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n
－1，
• 由题意可知an>0.85bn， • 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满
足上述不等式的最小正整数n＝6.10分
• 故到2014年年底，当年建造的中低价房的面 积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.12分
• [题后感悟] 本题将实际问题抽象出一个数列 问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建 立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题， 是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立， 时间的推算．不要在运算中出现问题．
性质4
在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等， 即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
性质5 在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列
• 1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的 数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是( )
• A．公比为q的等比数列
相 (1)都强调每一项与前一项的关系； 同 (2)结果都必须是常数；