-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。
证明
l + d(3)
也是X上的距离。
1、求证/(X,r)为3空间。
(其中X为/空间，丫为B空间)
2、S是由一切序列兀=(召，兀2,•…,£，・・・)组成的集合，在S中定义距离为
p(x，y ,求证S是一个完备的距离空间。
3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。
4、附加题
开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。
Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。
是X的线性子空间，人是定义在X。
上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足:
⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件);
(2)||/|| = UII0(保范条件),
其中表示人在X。
上的范数。
闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是X T Y的闭线性算子，并且D(T)是闭的，则卩是连续的。
共鸣定理(毘9)设X是B空间，丫是£空间，如果
Wu/(X,Y),使得sup||Ar||<oo(VxG X),那么存在常数M ,使得
AeW
|A||<M(VAG w)0
五、(10 分)在C[0,1]上定义内积：厶[0,1],(x)g(x)必
(1)如果 /(兀)=疋一X + ；,求11/11；
6
9 1
(2)证明任•一函数g(x) = a + bx都正交于/(x) = x2 -X + — o
六、(10分)设M为Hilbert空间X的闭子空间，证明对每个xw X必存在唯一的x o eM,
x-x0 = inf x-y
yeM
七、（15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\且求||/||。
八、（15分）简答题
1•试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异;
2.泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明；
3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。
一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全
体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M㊉W二且丄。
设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0.
二、在R中赋予距离p（x,y） =| arctan x-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什么？设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从
Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门
四论述题：
1、证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。
2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。
3、证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。
ie[a,b]
设H是内积空间，£，兀儿则当X" t X,儿Ty时，（£,几）T（x,y）,即内积
关于两变元连续。
10・设叭叭皿赋范空何，©“ 八码），证明
⑴+ 7V,
（2）
fit （】）任取f€E;及则
（T: + T t） V（r）r s）«> f（T^） + /（r»z >
-r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） •
山人工的任尴性.得：
《珀 + T护= +
<2）由共馳算子性质1•■即得:工
7. i 殳T 足賦范空何E 到赋范空间上的线性右界算 子，如果存在正数乩 使符对任何乂€戌
|Tz|>6|x|
证明T 仔在逆算子T J 时仪幷H"1是仔界的・
a 対f •线竹奔十儿？？氏UEE )划由关系式 ”工14“阖为彩="・因此T 起材到&上的1-1映谢。
所U 厂>“任。
任取必疗住唯一的心:,使
Tx^y
令则易证足吊到£的找性算子・由于 \Tx\>b\x\.所以
IT «!/PkKj
因此T ' ;&閃到E 的线性仆界算子・沫
4・设M.是区间［a, &］上有界瓯数的全体，％中的 线性运祥与C ［a 』］中的相同，在M 。
上定义范敷
l«l" sup ［«(0| «<(<*
证明时。
是巴拿般空间.
証 M 证耐。
关于|・|成为賦范空间•现证M 。
是完备的.
设仗■｝为M.中的基本列，那么对v^>O.^a ：N >0. g n>N 时，有
«up I«4O-x w (t)|<«.
・•・対”堆［a#h 右
JxXt)-x nl (O|<«
(n, m >N) ・・・・・・(▲)
P!此{况化”为一致墓本列•从而存在xW.使
一致 ..
'
x,(O — x(O (n — oo) 显然x€ *V 0.在(▲》式中，固定"，令加一oo,便仔 1^(0 - x(i)|*5« (n^N)
・：
|观・兀|= sup «(t )l • c • ■ t <b 即 “ •■・：・
… 7.证明：设｛e l9e 2,...,ej 是Hilbert 空间中的一个标准正交集，令 M =里初｛勺,勺,•••，£”｝，如果P 是H 到M 上的正交投影算子，则办w H,有
Px = ^{x,e k )e k o
k=\
3•设M 是Hilbert 空间H 的闭线性子空间，仁H ,且f.eM 是满足
||/z-/o|| =
M 。
为巴拿赫空间.※
rf(7z,M) = inf||x-/z||的唯一元素,那么,h-f Q丄M。
4设X是内积空间,｛e n：nEN｝是X中的标准正交系，则对任意的xeX#成立Bessel 不等式：
£|v心“ ＞『外『・
n=l
7.证明：设｛勺心,…,—｝是Hilbert空间中的一个标准正交集，令
M =也劝｛勺,02，・・・,匕｝,如果P是H到M上的正交投影算子，则0兀w H,有
川
Px = ^(x9e k)e kO
k=l。