则S的分布称为复合泊松分布；
如果理赔次数N 的分布用负二项分布来描述， 则S的分布称为复合负二项分布。
§4.2
一、 S 的数字特征
S 的分布性质
利用条件分布和全概率公式，计算 S 的期望 E S 如下：
ES E S N S N n Pr N n E E
第四章 集体(聚合)风险模型
§4.1 引言
前一章介绍的个体风险模型中，将保单数设为固定 的，而且每张保单在约定时间内只能发生一次理赔。 这章介绍的集体风险模型将摈弃这些假定， 理赔总额 被表示为：
S X 1 X 2 ... X N , (4.1.1)
其中的 X i i 1, 2,..., N 不再代表每张保单的理赔额， 而是代表保单组合在一个随机时间点上发生的一次 理赔，同时,代表理赔次数的 N 不是固定的，而是一 个随机变量。因此集体（聚合）风险模型是一个开放 式风险模型。
S S1 S 2 的分布。
【解】S 服从复合泊松分布， 10 15 25 ，个体理赔 X 的分 布为
1 2 fX x f X ( x) f X ( x)
1 2
10 15 f X (1) 0.7 0.5 0.58 25 25 10 15 f X (2) 0.3 0.3 0.30 25 25 15 f X (3) 0.2 0.12 25
N n Pr N n Pr N n
E e n 0
n 0
t X 1 X 2 ... X n
M X t Pr N n
n N ln M t E M X t E e X MN ln M X t
i 1


m m exp i M X i t i i 1 i 1 m i exp M X i t 1 i 1
i 上式中， i 。设 M X t M X t ，则理 i 1 i 1 赔总额的矩母函数可以写成：
n 0
E X 1 X 2 ... X n Pr N n
n 0

nE X Pr N n
n 0
E X n Pr N n EXEN
n 0

总理赔额的方差可由条件方差公式得到：
p 是指数分布 pt
F x 1 e px x 0 的矩母函数，所以矩母函数 M S t 可以
p 看作是对 1 和 的加权平均，与此相对应，S 的分布也是 pt
两个分布的加权平均，即下面的一个混合分布：
F x p q 1 e px 1 qe px , x 0
S N Var S E S N Var Var E E NVar X Var NE X E N Var X E X Var N
2
E ( N )Var X E X Var N
故有
E S E N E X 16 2.9 46.4 Var S E N Var X E X Var N
2
16 0.49 2.9 2 24 209.68 E S Var S 46.4 209.68 256.08
i 1 m
松分布， ，则 S S1 S 2
m
i 理赔额分布为 f X ( x ) f X ( x ) 的复合泊松分布。 i 1
i
【证明】设 S i 为参数 i 的复合泊松分布， S i 的矩母函数为
M Si ( t ) exp[i ( M X i ( t ) 1)]。由于 S1 , S 2 ,
定理 4-3-1 续（分解性） 假设总理赔额 S 是一个复合泊松 分布，参数 0 。理赔额 X 的取值可以分为 m 种类型：
C1 , C 2 , , C m ，其中 i P ( X C i ) 。设 N 表示理赔发生的


这是一个在 0 点有跳度 p 而在其它处为指数型的分布函数。
§4.3 复合泊松分布及其性质
4.3.1 复合泊松分布的性质 称随机变量 S iN 1 X i 服从参数为 的复合泊松分布，如果 1．随机变量 N , X 1 , X 2 , 2．若 X 1 , X 2 ,
, X N 是相互独立；
例题 取自<现代精算风险理论>的例 3 . 2 . l
设 N 服从参数为 p 的几何分布，0 p 1 , X 服从参数 为 1的指数分布，那么 S 的分布函数是什么？ 记 q 1 p 。这里，我们先计算 S 的矩母函数，然后利 用分布函数与矩母函数之间的对应关系得到 S 的分布。 当 qe t 1时，几何分布G p 的矩母函数为：
p M N t e pq t 1 qe n 0
nt n

由X
Exp 1 知，理赔额的矩母函数为 M X t 1 t ，
1
由此得到理赔总额 S 的矩母函数为： p p M S t M N ln M X t pq 1 qM X t pt 因为 1 是常数 0 的矩母函数，而


N
E e N ln M X t


例 4-2-4 设个体理赔额 X 服从指数分布，均值为 ；理赔次
数 N 服从几何分布，求 S 的分布。
t 【解】理赔额 X 的矩母函数为： M X t 1 ，
p 理赔次数 N 的矩母函数为： M N t ， t 1 qe
, S m 为相互独立的随
机变量，因此 S 的矩母函数为：
M S t E e ts
m

t si m m E e i 1 E e tsi M Si t i 1 i 1
m

exp i M t 1 X i
例
4-3-1
设 S1 服 从 复 合 泊 松 分 布 ， 1 10 ，
f X1 (1) 0.7, f X1 (2) 0.3 ， S 2 也服从复合泊松分布， 2 15 ， f X 2 (1) 0.5, f X 2 (2) 0.3, f X 2 (3) 0.2 ，若 S1 和 S 2 相互独立，求
2
当 N 服从泊松分布时：
Var S E X Var X
2
当 N 服从负二项分布时：
2 rq E X Var S Var X p p
例 4-2-1 设理赔次数 N 服从负二项式分布：
k r 1 r k P N k pq k 2 已知参数 p ，Var N 24 ，个别理赔额的分布为 3 3 4 2 X 0.3 0.5 0.2
, X N 具有相同的分布，且分布与 X 相同；
3． N 服从泊松分布，参数为 0 。 对于复合泊松分布，有 E(S) E( X )E( N ) E( X )
Var ( S ) Var ( X ) E ( N ) E ( X ) 2Var ( N ) Var ( X ) E ( X ) 2 E( X 2 )
m m
i
M S t exp M X t 1


n
i
i 式中 M X t 是理赔额为 f X t f X t 的矩母 i 1 函数，因此 S 是参数为 、个体理赔分布为 f X ( x ) 的
复合泊松分布。
上述定理具有两方面的意义： [1] 在考虑多个保单组合构成的总业务组合时， 若这些保单组合之间是相互独立的，而且每个 保单组合的总理赔模型均为复合泊松模型，则 总业务组合的总理赔模型依然是复合泊松模 型。 [2] 在考虑同一保单组合在若干个连续保险年 度中的理赔总量分布时，如果每个保险年度的 理赔总量都是复合泊松模型且相互独立，即使 它们的分布不同，这些年的理赔总量也将服从 复合泊松模型。
由此得到理赔总额 S 的矩母函数为 M S t M N ln M X t
p pq t p t 1 q1 x0 p, 这是一个两点混合分布： f S x pq px exp , x 0 p 1 qM X t p
求总理赔额的均值和方差。
rq rq 【解】对于负二项式分布，有 E N , Var N 2 p p
2 因此 E N pVar N 24 16 3 E X 2 0.3 3 0.5 4 0.2 2.9
Var X 22 0.3 32 0.5 42 0.2 2.92 0.49
二、计算 S 的分布
1、 卷积法
设理赔额 X 的分布函数为 FX x ，理赔次数 N 的分布列为
pn , n 0,1, 2,...，由全概率公式，有
FS s P S s P S s N n Pr N n
n 0
P X 1 X 2 ... X n s pn
但为了使这个模型具有可操作性，通常
对随机变量做如下假设：
（1）X1， X2，… Xn是独立同分布的随机变
量； （ 2）理赔次数N与理赔额 X1， X2，… Xn之
间相互独立。
从聚合风险模型的表达式可以看出，理赔
总额S的分布是由理赔次数N和理赔额X的分