球与各种几何体切、接问题近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。

首先明确定义1 :若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2 ：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球•一、球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题•1、球与正方体(1)正方体的内切球，如图1。

位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ,球的半径为r ,这时有2r =a。

(2)正方体的棱切球,如图2。

位置关系：正方体的十二条棱与球面相切,正方体中心与球心重合; 数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为r,这时有2^ 2a 。

(3) 正方体的外接球,如图 3。

位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心 与球心重合;= V EF C —直线En 冠得的绽段为球的截面圆船直径27J=√2。

点评；本题考查球与正启悴ft⅛撷的问题，;「闭球的Iffi 性质，转化成⅛⅛求球的截面IS 直径.2、球与长方体例2自半径为R 的球面上一点 M ,引球的三条两两垂直的弦 MA, MB ， MC ，求MA 2 MB 2 MC 2 的值.数据关系：设正方体的棱长为a ,球的半径为r ,这时有2r = ∙ 3a.AI I!>013 √例1 棱长为1的正方体ABCD-AB 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E , F 分别是棱AA ，DD I 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为( A .辽思路分析:由题意推出，球为正方体的外接球 •平面AA I DD I 截面所得圆面的半径AD 1 上，得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径2【解析】由题意可知，球为正方体的外接琰尸面.Li "丄载面所得圆面的半径5'二【解析】,3∕C ⅜A 一个顶点出发的三条協 將三棱笹M —ABC 补咸一个长方氷 则另外四个 顶点莎在球面上，故长方体是球的內接长方体，则长方体的⅛⅛i ⅛长是球的直径./. —Ur + 3Z52+J∕c—^(2J ？）2点评匕此题突出构造法的演用，姬渗透利用今割补劭的方法解决立体几何中体积计算••结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线。

例3 (全国卷I 高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为16，则这个球的表面积为（）•A 。

16二 B. 20二 C 。

24二 D 。

32:思路分析：正四棱柱也是长方体•由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为 2,可得长方体的长、宽、高分别为2, 2，4,长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径【解析】正四棱柱也是长方体口由长方体的対只16^73 4可以匸出长方体的底面辺长为2,因此,长方体 的长、宽、高分别为Z 2， 4。

因为长方体内接于球,所页”勺体对角线正好为球的直径•长方体体对角线 长为2√6•故球的表面积为24π •故选C.点评*本题考查球与长⅛⅛的间题,于打扶方体的性质・转化成为求其体对角线。

3、球与正棱柱（1) 结论1 ：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

（2) 结论2 :直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。

一个六棱柱的h ⅛⅛½止六边形，其测棱雅直F 底面. 斷鮭梭幽顶点都在同i 球面匕11験棱柱的体积碍4打已知备顶点都亦同个球而上IHiIiPM 棱柱的高为虬 体积为⑷•则这牛球(1⅛⅛ι⅛ι⅛⅛. 24；TΛ-「[三棱柱 ABC 一 A i Zr I C l 中∙ AB = 4， AC = ⅛J = . AA λ = 4,160JT～T~⅛:InJril K 为—则这个坤的休积为财直 滋柱ABC - 4 Zr l C l 的外接球的表面积球与锥体的切接规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1、正四面体与球的切接问题(1) 正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a ,高为h ；球的半径为R ,这时有【解析】如图正四面体A —BCD的中心为0,即内切球球心，内切球半径R即为0到正四面体各面的距离.∙.∙ AB = a, .∙.正四面体的高h=严a,又V A-BCD = 4V O—BCD, ()∙°∙ R=1h3 4=陰12(2)正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a ,高为h ；球的半径为R ,这时有4R = 3^-⅛a ;(可用结论：正四面体的高线与底面的交点是△ ABC 勺中心且其高线通过球心，这是 构造直角三角形解题的依据•此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点3此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的*内切球的半径是正1四面体高的4∙(3)正四面体的棱切球,位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a ，高为h ;球的半径为 R ,这时有4R = 。

3h = S 2a, h - a 。

3正四面体高h 减去内切球的半径得到) 例5求棱长为1的正四面体外接球的半径。

设SO i 是正四面体S - ABC 的高，外接球的球心 0在SO i 上，设外接球半径为 R , AO i =则在△ ABC 中，用解直角三角形知识得 r =F ,3从而 SO i = SA 2- Aθ1= - '1 —1在Rt △ AOO 1中，由勾股定理得 R 2=-R ）2 + （中）2,解得R =46已知正四面体A—BCD的棱长対G求它的外接球半径、內切球半径、棱切球半径” 解］由正四面陳的对隸性与球的对粽性知球心在正四面体的高上＊设外接球半径为J?,如图（O为外接球球心，G^ΛBCD的重心)+所l⅛AG = —<J A C^L～CG L=解得R=區＊例7设正四面体中，第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比。

思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的。

【解析】如图,正四面⅛ABCD的中心J U, λPZι）的中50—则第一个域半径为正四面体的中心到各面的距离,第二个球的半径为正四面体白「到炉:加距离.^OO =rτOA= A S正四靳ft的一"面的面积严’—依题意得U^L)=^S（R ^r) t又4 亠4卩亠口二；GIS二R十＄= 4尸即A =弘＊Fςςrj内切球的表面积_丄万：_ 1內切球的体积_亍”_ 1 所以外接球的表面积^存肓•升接球的师：二二匚亍一/ZK点评:正四面慵与球的接切问题,可通过线面关系证出，內切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点, 幫定有内切球的半径y=—h(h为正四面体的高），且外接球的半径R=3r.Y S紳=孕T¥RMuG中，OC：= 0G」+CGs WR23 4 12棱切球半径为OE = J E E+o& =(4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？分析如图I I因为正四面体ΛΛABCDftJ外接球的球心O到点B,C t j∕∖∖D的距离相等,所以O在平面BCD /：\\内的射影O-到点B t UD的距离也B《一列相等.又因为在正四面体ABCD中/ VBCD是正三角形，所以O l是CV BCD的中心。

进而在正四面体罡］ABCD中，有Aa L平面BCD,所以球心0在高线AQ上；同理:球心0也在其它面的高线上. 又正四面体ABCD中各面上的高都相等•所以,由OA = OB = OC = OD，得［点0到正四面体各面的距离相等,所以点0也是正四面体ABeD的内切球的球心。

这样,正四面体的内切球的球心与外接球的球心重合。

记正四面体ABeD的高为h,则r÷R = h =今乱因此■只要求出!’和R中的一个■便可求出另一个＊2. 其它棱锥与球的切接问题（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解•二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R •这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解。

结论1 :正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到.结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法。

途径1 ：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体。

途径4 ：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体。

例8正三棱锥的高为1,底面边长为2，6，正三棱锥内有一个球与其四个面相切。

求球的表面积与体积.思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系,由等体积法V P —ABC =VO -PAB V O —PAC +V O _PBC +V。

」BC ，【解析】如國球0是正三棱锥P—ABC的内切玖O到兀二粧锥四个而的距冉都是球的半径虑尸H是正三棱維的高，1。

E是BCil）屮鬲H^LAE±，丄扭C的边。

，。

.⅛Ξ=-×2√6 = √2 。

PE =运6可左得到Sda二S＊= S曲=^C PE =3√2 - S/ = f (2√6）2= MIK—1由等体积法,b运仪+Z亦+2运A —x6^xl = iχ3Λ∕2xJξx3 + ^x6√3x^⅛: Λ=-⅛^ = √6-2，3 3 3 2y[3 + 3二‰ =4衣:=丄巩质—2）： =8（5-L^）.τ.…T;=；总=i,τ(√6—2）∖点评；球心是決走球的位直关键泉本題和用球心钊正三巒口个面的距离相等且为球半径R来求出乩以球心的位置特点来抓球的基本墾，这是解决球有关间题常用的方法。