2020年度全国体育单招数学测试题（十一）
考试时间：90分钟 满分：150分
一、单选题（6×10=60分）
1．已知集合{}|12A x x =−<<，{}2,0,1,2B =−，则A B =（ ）
A ．{}0,1
B ．{}1,0,1−
C ．{}0,1,2
D ．{}1,0,1,2-
2．函数()()1
lg 11f x x x
=++−的定义域是（ ） A ．(),1−∞− B ．()1,+∞ C ．()()1,11,−+∞U
D ．(),−∞+∞
3．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）
A ．22y x =−+
B ．2x y −=
C ．ln y x =
D ．1y x
=
4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=
（ ） A ．12
B ．10
C ．8
D ．32log 5+
5．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）
A ．
324
R B ．
38
R C ．
324
R D ．
38
R 6．已知点(2,1),(2,3)A B −，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）
A ．220x y −+=
B ．240x y +−=
C ．220x y +−=
D ．210x y −+=
7．若3
sin(
),25
π
αα−=−为第二象限角，则tan α= A ．43−
B ．
43
C ．34
−
D ．
34
8．设
ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ，c ，若b 1=
，c =2cos 3
C =
，则a =（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
9．已知等比数列{}n a 中，23a ，32a ，4a 成等差数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33
S a 等于（ ）. A ．
139
B ．3
C ．3或
139
D ．
79
10．若关于x 的不等式220ax bx +−>的解集为11,,23⎛
⎫⎛⎫
−∞−
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
则ab 等于（ ）． A ．24− B ．24 C ．14
D ．14−
二、填空题（6×6=36分）
11．计算1
2
1
24
lg lg 254
−
++−=______.
12．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有_____________种.（用数字填写答案）
13．的展开式中x 3项的系数为20，则实数a = ．
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y
a b
−=（0a >，0b >）的右焦点为F ，
过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E .若2EF OE =，则双曲线的离心率______. 15．已知,a b 为单位向量，其夹角为120︒，则a b −=______.
16．曲线cos y x x =在3
x π
=处的切线的斜率为________.
三、解答题
17．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2． (1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7．问：b 6与数列{a n }的第几项相等？
18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2
，其中左焦点为()2,0F −.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的中点M 在圆
221x y +=上，求m 的值.
19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，E 为棱1AA 的中点，2AB =，13AA =．
（1）求证：1//A C 平面BDE ；
（2）求证：1BD AC ⊥； （3）求三棱锥A BDE −的体积．
参考答案
选择题ACDBC AAACB
填空题11.21
−
；12.240；13.4；14.5；15.3；16.6
321π−.
17．【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d.因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.
又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…)．
(2)设等比数列{b n }的公比为q.因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，
所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－
1＝128.
由128＝2n ＋2得n ＝63.
所以b 6与数列{a n }的第63项相等．
18．【解】（1
）由题意可得
22
a =
，a ∴=
2b ==， 因此，椭圆C 的方程为22
184
x y +=；
（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，
将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立22184y x m
x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得2234280x mx m ++−=，
()2221612289680m m m ∆=−−=−>
，解得m −<
由韦达定理得1243m
x x +=−
，则12223x x m +=−，
1212223
y y x x m m ++=+=. 所以，点M 的坐标为2,33m m ⎛⎫−
⎪⎝⎭
，
代入圆的方程得22
2133m m ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，解得5m =±，合乎题意.
综上所述，m =.
19．(1)证明：设AC BD O ⋂=，连接OE ，
在1ACA 中，O ，E 分别为AC ，1AA 的中点，1//OE A C ∴，
1A C ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， 1//A C ∴平面BDE ；
(2)证明：侧棱1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，1AA BD ∴⊥，
底面ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，
1AA AC A ⋂=，BD ∴⊥平面11ACC A ，
1A C ⊂平面11ACC A ，1BD A C ∴⊥；
(3)解：侧棱1AA ⊥底面ABCD 于A ，E 为棱1DD 的中点，且13AA =，
32AE ∴=
，即三棱锥E ABD −的高为32
． 由底面正方形的边长为2，得1
2222
ABD
S
=⨯⨯=． 1
13213
32
A BDE E ABD ABD
V V S
AE −−∴==⋅=⨯⨯=．。