考研数学三（线性代数）-试卷3(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、 选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设λ 1 ，λ 2 是n 阶矩阵A 的特征值，α 1 ，α 2 分别是A 的对应于λ 1 ，λ 2 的特征向量，则 ( ) （分数：2.00）A.当λ 1 =λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必成比例B.当λ 1 =λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量不成比例C.当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必成比例D.当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 对应分量必不成比例 √解析：解析：当λ 1 =λ 2 时，α 1 与α 2 可以线性相关也可以线性无关，所以α 1 ，α 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)．当λ 1 ≠λ 2 时，α 1 ，α 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)．3.已知α 1 =[－1，1，a ，4] T，α 2 =[－2，1，5，a] T，α 3 =[a ，2，10，1] T是4阶方阵A 的3个不同特征值对应的特征向量，则a 的取值为 ( ) （分数：2.00） A.a≠5 √ B.a≠－4 C.a≠－3D.a≠－3且a≠－4解析：解析：α 1 ，α 2 ，α 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由a≠5．故应选(A)．4.设A ，B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则 ( ) （分数：2.00） A.λE －A=λE －BB.A 与B 有相同的特征值和特征向量C.A 与B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数t ，tE －A 与tE －B 相似 √解析：解析：A 与B 相似，存在可逆矩阵P ，使得P －1AP=B ，则 tE －B=tE －P －1AP=P －1(tE)P －P －1AP=P－1(tE －A)P ， 即tE －A 与tE －B 相似，选(D)．对于(A)：由λE －A=λE －B ，有A=B ；对于(B)：A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与B 不一定能够相似对角化． 5.设A 为n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( ) （分数：2.00）A.若α为A T的特征向量，那么α为A 的特征向量 B.若α为A * 的特征向量，那么α为A 的特征向量 C.若α为A 2 的特征向量，那么α为A 的特征向量 D.若α为2A 的特征向量，那么α为A 的特征向量 √解析：解析：①矩阵A T与A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误． ②假设α为A 的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A *的特征向量．这是由于 A α=λα=>A *A α=λ A *α=A *α= λ －1｜A ｜α． 但反之，α为A *的特征向量，那么α不一定为A 的特征向量．例如：当r(A)＜n －1时，A *=O ，此时，任意n 维非零列向量都是A *的特征向量，故A *的特征向量不一定是A 的特征向量．可知(B)错误． ③假设α为A 的特征向量，λ为其特征值，则α为A 2的特征向量．这是由于 A 2α=A(A α)=λA α=λ 2α． 但反之，若α为A 2的特征向量，α不一定为A 的特征向量．例如：假设A β1=β 1 ，A β 2 =－β 2 ，其中 β 1 ，β 2 ≠0．此时有A 2 (β 1 +β 2 )=A 2 β 1 +A 2β 2 =β 1 +β2，可知β1 +β2为A 2的特征向量．但β1，β2是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β1 +β2不是A的特征向量．故(C)错误．④若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有Aαλα，因此α为A的特征向量．可知(D)是正确的．故选(D)．6.已知3阶矩阵A有特征值λ1 =1，λ2 =2，λ3 =3，则2A *的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12 √C.2，4，6D.8，16，24解析：解析：BA *的特征值是A｜=λ1λ2λ3，λi是A的特征值，分别为1，2，3，故2A *的特征值为4，6，12．7.已知A是3阶矩阵，r(A)=1，则λ=0 ( )（分数：2.00）A.必是A的二重特征值B.至少是A的二重特征值√C.至多是A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析：解析：A是三阶矩阵，r(A)=1，r(OE－A)=1． (OE－A)X=0有两个线性无关特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：，r(A)=1，λ=0是三重特征值．8.已知ξ1，ξ2是方程(λE－A)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A.ξ1B.ξ2C.ξ1－ξ2√D.ξ1 +ξ2解析：解析：因ξ1≠ξ2，故ξ1－ξ2≠0，且仍有关系 A(ξ1－ξ2 )=λξ1－ξ2 =λ(ξ1－ξ2 )，故ξ1－ξ2是A的特征向量．而(A)ξ1，(B)ξ2，(D)ξ1 +ξ2均有可能是零向量而不能成为A的特征向量．9.A的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A.ξ1 =[1，2，1] TB.ξ2 =[1，－2，1] T√C.ξ3 =[2，1，2] TD.ξ4 =[2，1，－2] T解析：解析：因Aξ2ξ2是A的对应于λ=－2的特征向量．其余的ξ1，ξ2，ξ3均不与Aξ1，Aξ2，Aξ3对应成比例，故都不是A的特征向量．10.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：四个选项的矩阵，特征值均为1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值λ1=λ2 =1，有两个线性无关特征向量．对(C)而言，因r(E－=1．可有两个线性无关特征向量，故(C)可相似于对角阵，而r(E－A)=r(E－B)=r(E－D)=2，都只有一个线性无关特征向量，故均不能：相似于对角阵．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设B是3阶非零矩阵，且AB=O，则Ax=0的通解是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k[－1，1，0] T，k为任意常数）解析：解析：由于A为4×3矩阵，AB=O，且B≠O，我们得知r(A)＜3，对A作变换r(A)＜3，有a=1．当a=1时，求得Ax=0的基础解系为[－1，1，0] T，因此通解为k[－1，1，0] T，k为任意常数．12.已知－2是b≠0是任意常数，则x= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－4）解析：解析：由｜λE－A｜=｜－2A－E｜=0，可求得x=－4．13.设n阶矩阵A的元素全是1，则A的n个特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0(n－1重根)，n(单根)）λ=0(n－1重特征值)，λ=n(单根)．14.设A是3阶矩阵，已知｜A+E｜=0，｜A+2E｜=0，｜A+3E｜=0，则｜A+4E｜= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由｜A+E｜=｜A+2E｜=｜A+3E｜=0，知A有特征值λ=－1，－2，－3，A+4E有特征值λ=3，2，1，故｜A+4E｜=6．15.设A是3阶矩阵，｜A｜=3．且满足｜A 2 +2A｜=0，｜2A 2 +A｜=0，则A *的特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：μ1μ2 =－6，μ3 =1）解析：解析：｜A｜｜A+2E｜=0，因｜A｜=3，则｜A+2E｜=0，故A有特征值λ1=－2．又因｜A｜=3=λ1λ2λ3，故λ3 =3． Aξ=λξ，A * Aξ=λA *ξ，A *ξ= ξ，故A *有特征值μ1，μ2 =－6，μ3 =1．16.设A是n阶实对称阵，λ1，λ2，…，λn是A的n个互不相同的特征值，ξ1是A的对应于λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=A－λ1ξ1ξ1T的特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0，λ2，λ3，…，λn）解析：解析：因A是实对称阵，λ1，λ2，…，λn互不相同，对应的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn相互正交，故 Bξi =(A－λ1ξ1ξ1T )ξi故B有特征值为0，λ2，λ3，…，λn．三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：18.A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1 +ξ2 )，A(ξ2 +ξ3 )，A(ξ3 +ξ1 )线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：A(ξ1 +ξ2 )，A(ξ2 +ξ3 )，A(ξ3 +ξ1 )线性无关<=>λ1ξ1 +λ2ξ2，λ2ξ2 +λ3ξ3，λ3ξ3 +λ1ξ1线性无关<=>[λ1ξ1 +λ2ξ2，λ2ξ2 +λ3ξ3，λ3ξ3 +λ1ξ1 ]=[ξ1，ξ2，ξ3 ] 秩为3．因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关，=2λ1λ2λ3≠0<=>｜A｜=λ1λ2λ3≠0，A是可逆阵．)解析：19.设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量．证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1 +ξ2 )，A 2 (ξ1 +ξ2 +ξ3 )线性无关．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因 [ξ1，A(ξ1 +ξ2 )，A 2 (ξ1 +ξ2 +ξ3 )]=[ξ1，λ1ξ1 +λ2ξ2 +λ12ξ1 +λ22ξ2 +λ32ξ3 ]=[ξ1，ξ2，ξ3 ] 因λ1≠λ2≠λ3，故ξ1，ξ2，ξ3线性无关，由上式知ξ1，A(ξ1 +ξ2 )，A 2 (ξ1 +ξ2 +ξ3 )线性无关=λ2λ32≠0，即λ2λ3≠0．)解析：20.设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，A Tη=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量．证明：ξ，η正交．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Aξ=λξ，两边转置得ξT A T =λξT，两边右乘η，，得ξT A Tη=λξTη，ξTμη=λξTη， (λ－μ)ξTη=0，λ≠μ，故ξTη=0，ξ，η相互正交．)解析：21.设矩阵k为何值时，存在可逆阵P，使得P －1 AP=A，求出P及相应的对角阵．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：λ=－1是二重特征值，为使A相似于对角阵，要求r(λE－A)=r(－E－A)=1，r(－E－A)=1=>k=0，故k=0时，存在可逆阵P，使得 P －1 AP=A． k=0时，故k=0时，存在可逆阵使得)解析：22.已知A的特征值和特征向量，a为何值时，A相似于A，a为何值时，A不能相似于A．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：=(λ－a)[λ－(1－a)][λ－(1+a)]=0，得λ1=1－a，λ2=a，λ3=1+a．a≠且a≠0时，λ1≠λ2≠λ3，A～A；a=0时，λ1 =λ3 =1，r(E－)解析：23.已知α=[1，k，1] T是A －1的特征向量，其中α所对应的特征值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题设A －1α=λα，A是A －1的对应于α的特征值，两边左乘A，得α=λAα，A －1可逆，λ≠0，Aα= μα，即对应分量相等，得 3+k=μ， 2+2k=kμ， 3+k=μ，得2+2k=k(3+k)，k 2 +k－2=0，得k=1或k=－2．当k=1时，α=[1，1，1] T，μ=4，λ= ；当k=－2时，α=[1，－2，1] T，μ=1，λ=1．)解析：24.设矩阵λ=2是A的二重特征值，试求可逆阵P，使得P －1 AP=A，A是对角阵．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩阵2E－A的秩应为1．r(2E－A)=r =1．解得x=2，y=－2，故A= 因trA=10= =4+λ3，故λ3=6．λ=2时，(2E－A)X= =0．解得λ=6时，(6E－A)X= =0，解得令P=[ξ1，ξ2，ξ3 ]= ，则P －1)解析：25.已知ξ=[1，1，－1] T是矩阵A= (1)确定参数a，b及考对应的特征值λ；(2)A是否相似于对角阵，说明理由．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：(1)设A的特征向量考所对应的特征值为λ，则有Aξ=λξ，即解得λ=－1，a=－3，b=0． (2)当a=－3，b=0时，由｜λE－A｜= =(λ+1) 3 =0 知λ=－1是A的三重特征值，但 r(－E－=2．当λ=－1时，对应的线性无关特征向量只有一个，故A不能相似于对角阵．)解析：26.设矩阵A｜=－1，A的伴随矩阵A *有特征值λ0，属于λ0的特征向量为α=[1，－1，1] T，求a，b，c及λ0的值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：A *α=λ0α，左乘A，得AA *α=｜A｜α=－α=λ0 Aα．即由此得λ0 (－a+1+c)=1，① λ0 (－5－b+3)=1，② λ0 (c－1－a)=－1，③ 由式①，③解得λ0 =1，代入式①，②得b=－3，a=c．由｜A｜=－1，a=c，有=a－3=－1．得a=c=2，故得a=2，b=－3，c=2，λ0 =1．)解析：27.设A 是三阶实对称阵，λ 1 =－1，λ 2 =λ 3 =1是A 的特征值，对应于λ 1 的特征向量为ξ 1 =[0，1，1] T，求A ． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：λ 2 =λ 3 =1有两个线性无关特征向量ξ 2 ，ξ 3 ，它们都与ξ 1 正交，故可取ξ 2 =[1，0，0] T，ξ 3 =[0，1，－1] T，且取正交矩阵 T= 则A=TAT －1 =TAT T)解析：28.设A 是n 阶方阵，2，4，…，2n 是A 的n 个特征值，E 是n 阶单位阵．计算行列式｜A －3E ｜的值． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：若λ为A 的特征值，则λ－3为A －3E 的特征值．所以A －3E 的特征值为－1，1，3，…，2n －3，故｜A －3E ｜=(－1)×1×3×…×(2n－3)=－(2n －3)！！．) 解析：29.设矩阵已知A 的一个特征值为3，试求y ；(2)求矩阵P ，使(AP) T(AP)为对角矩阵．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)｜A －λE ｜=(λ－1)(λ+1)[λ 2－(2+y)λ+(2y －1)]=0y=2． (2)A 为对称矩阵，要使(AP) T(AP)=P TA 2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵A 2对角化． 由(1)得A 的特征值λ 1=－1，λ 2，3 =1，λ 4 =3，故A 2的特征值λ 1，2，3 =1，λ 4 =9．且 A 2= A 2的属于特征值λ1，2，3=1的正交单位化的特征向量为A 2的属于特征值λ 4 =9的正交单位化的特征向量为P 4 = 令P=[p 1 ，p 2 ，p 3 ，p 4 ]= ， 则(AP) T)解析：30.设A 为3阶矩阵，λ 1 ，λ 2 ，λ 3 是A 的三个不同特征值，对应的特征向量为α 1 ，α 2 ，α 3 ，令β=α 1 +α 2 +α 3 ． (1)证明：β，A β，A 2β线性无关； (2)若A 3β=A β，求秩r(A －E)及行列式｜A+2E ｜． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)设 k 1 β+k 2 A β+k 3 A 2 β=0， ① 由题设A α i =λ i α i (i=1，2，3)，于是 A β=A α 1 +A α 2 +A α 3 =λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +λ 3 α 3 ， A 2β=λ 1 2α 1 +λ 2 2α 2 +λ 32α 3 ， 代入①式整理得 (k 1 +k 2 λ 1 +k 3 λ 1 2 )α 1 +(k 1 +k 2 λ 2 +k 3 λ 2 2)α 2 +(k 1 +k 2λ 3 +k 3 λ 3 2)α 3 =0． 因为α 1 ，α 2 ，α 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有其系数行列式≠0，必有k 1 =k 2 =k 3 =0，故β，A β，A 2β线性无关． (2)由A3β=A β有 A[β，A β，A 2β]=[A β，A 2β，A 3β]=[A β，A 2β，A β]=[β，A β，A 2β]令P=[β，A β，A 2β]，则P 可逆，且 P －1AP= =B ， 从而有r(A －E)=r(B －E)= =2． ｜A+2E ｜=｜B+2E ｜=6．)解析：31.设B，使A=B 2．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：｜λE－A｜= =λ(λ－9) 2 =0=>λ1 =0，λ2 =λ3 =9．λ1 =0=>(0E－A)X=0=>ξ1=[1，2，2] T；λ2=λ3=9=>(9E－A)X=0=>ξ2=[2，－2，1] T，ξ3=[2，1，－2] T．单位化Q= 为正交矩阵．因此)解析：32.证明：A～B，其中P，使得P －1 AP=B．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由A知，A的全部特征值是1，2，…，n，互不相同，故A相似于由其特征值组成的对角阵B．由于λ1 =1时，(λ1 E－A)X=0，有特征向量ξ1 =[1，0，…，0] T；λ2 =2时，(λ2 E－A)X=0，有特征向量ξ2=[0，1，…，0] T；…… λn=n时，(λn E－A)X=0，有特征向量ξn=[0，0，…，1] T．故有 Aξn =nξn，Aξn－1 =(n－1)ξn－1，…，Aξ1 =ξ1，即 A[ξn，ξn－1，ξ1 ]=[nξn，(n－1)ξn－1，ξ1 ]=[ξn，ξn－1，ξ1 ] 故得可逆阵 P=[ξn，ξn－1，ξ1有 P －1 AP=B．)解析：。