1线性方程组1. 三种行初等变换倍加变换（某一行的倍数加到另一行）对换变换（两行交换）倍乘变换（某一行所有元素乘以同一个非零数）2. 行等价一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。

行变换可逆。

3. 若两个线性方程组的增广矩阵行等价，则它们有相同的解集。

4. 简化行阶梯矩阵a) 非零行的先导元素为0b) 先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。

5. 对应于主元列的变量称基本变量，其他变量称自由变量。

6. 向量的平行四边形法则若R2中的向量u，v用平面上的点表示，则u+v对应于u，v，0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。

[思考：即使u，v不是R2而是R3甚至R n中的向量，上述结论是否仍然成立？]7. 向量方程x1a1+x2a2+...+x n a n=b和增广矩阵如下的线性方程组[a1 a2 ... a n b]和矩阵方程Ax=b有相同的解集。

8. 方程Ax=b有解的条件：b是A的各列的线性组合。

9. 设A为mxn矩阵，以下命题等价：a) 对R m中每个b，Ax=b有解b) R m中的每个b都是A的列的一个线性组合c) A的各列生成R m（R m = Span{A各列}）d) A在每一行都有一个主元位置（注意是A的每一行，*不*是A的增广矩阵的每一行）10. 方程Ax=0有非平凡解的条件：至少有一个自由变量。

11. 如果非齐次方程有多个解，其解可表示为一个向量（这个向量也是非齐次方程的特解）加上相应的齐次方程的解。

或者说：非齐次方程解＝该方程特解＋对应的齐次方程的通解12. 若一组向量v1，v2，...，v n组成的向量方程x1v1+x2v2+...+x n v n = 0仅有平凡解，则这些向量线性无关；否则这些向量线性相关。

同样，仅当矩阵方程Ax=0仅有平凡解，A的各列线性无关。

13. 单个的零向量线性相关，因为0x=0有非平凡解；同理，单个的非零向量线性无关。

含有零向量的向量组必定线性相关。

14. 向量集线性相关，则其中至少一个向量是其他向量的线性组合；但该集合中也有可能存在不能表示为其他向量线性组合的向量。

15. 若向量组中的向量个数超过每个向量的元素个数，那么这个向量组必定线性相关。

16. 仅存在两个向量的向量集是否线性相关很好判断：看一个是否是另一个的倍数就可以了。

17. 矩阵A与向量x的积，就是A的各列以x中对应元素为权的线性组合。

下式中，A为矩阵，x为向量，x n为向量元素，a n为矩阵列。

Ax ＝x1a1+x2a2+...+x n a n18. 设u，v是R3中的线性无关向量，那么span{v}是过零点和v的直线，span{u,v}是过u，v，0的平面。

19. 矩阵乘法Ax=b的另一种理解是，将矩阵A作用于向量x，产生新向量b。

解方程Ax=b就是求出R n中所有经过A的“作用”后变为b的向量x。

20. 符号T:R n->R m说明T的定义域是R n，余定义域是R m。

T(x)的集合是T的值域。

21. 由R n到R m的每个线性变换都是矩阵变换，反之亦然（每个矩阵变换都是线性变换）。

即对于线性变换R n->R m，存在唯一矩阵A使得T(x)=Ax（对R n中一切x ）。

A可按下式求得：A = [T(e1) T(e2) ... T(e n)]其中e j是单位矩阵I n的第j列。

A称为线性变换T的标准矩阵。

22. 若T的值域是整个余定义域，T是满射；若T是一对一的，T是单射。

23. 线性映射T是一对一的条件：Ax=0仅有平凡解。

24. 若T为线性变换，A为T的标准矩阵，那么：当且仅当A的列生成R m时，T把R n映上到R m（即将R n映射到R m上，满射）；当且仅当A的列线性无关时，T是一对一的。

2矩阵代数1. 设A，B为可以相乘的矩阵，AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。

同样，AB的每一行都是B的各行的线性组合，以A的对应行的元素为权。

例如，AB的第m列是以B的第m列为权的A的各列的线性组合；AB的第n行是以A的第n行为权的B的各行的线性组合。

2. 矩阵乘法恒等式：I m A = A = AI n3. 逆矩阵的概念仅对方阵有意义。

4. 若A可逆，则对每一R n中的b，方程Ax=b有唯一解x=A-1b5. 初等矩阵：将单位矩阵进行一次初等行变换所得的矩阵。

6. 对mxn矩阵A进行初等行变换所得的矩阵，等于对单位矩阵进行相同行变换所得初等矩阵与A相乘的结果。

设对单位矩阵I m进行初等行变换所得初等矩阵为E，对A进行相同初等行变换的结果可写为EA。

因为初等行变换可逆，所以必有另一行变换将E变回I。

设该“另一行变换”对应初等矩阵为F，结合上一行，F对E的作用可写为FE=I。

因此，每个初等矩阵均可逆。

7. 当n阶方阵A行等价于I n时，A可逆。

此时，将A变为I n的一系列初等行变换同时将I n变为A-1。

8. 求A-1：将增广矩阵[A I] 进行行化简，若A可逆，则[A I] ~ [I A-1]将 [A I] 行变换为[I A-1]的过程可看作解n个方程组：Ax=e1, Ax=e2, ... Ax=e n这n个方程组的“增广列”都放在A的右侧，就构成矩阵[A e1 e2 ... e n] = [A I]如果我们只需要A-1的某一列或某几列，例如需要A-1的j列，只需解方程组Ax=e j，而不需要求出整个A-1。

[注：根据此条可以导出利用克拉默法则求逆矩阵的公式]9. 可逆矩阵定理对于n阶方阵，以下命题等价：a) A可逆b) A与n阶单位矩阵等价c) A有n个主元位置d) 方程Ax=0仅有平凡解e) A各列线性无关f) 线性变换x|->Ax是一对一的g) 对R n中任意b，Ax=b至少有一个解（有且仅有唯一解？）h) A各列生成R ni) 线性变换x|->Ax将R n映上到R nj) 存在nxn阶矩阵B，使AB=BA=Ik) A T可逆l) A的列向量构成R n的一个基m) ColA=R nn) dim(Col(A))=no) rank(A)=np) Nul(A)=0q) dim(Nul(A))=0r) det(A)≠0 <=> A可逆s) A可逆当且仅当0不是A的特征值t) A可逆当且仅当A的行列式不等于零再次强调，以上命题仅对n阶方阵等价。

对于mxn（m≠n）则未必10. 分块矩阵乘法两个矩阵A、B相乘，要求A的列数等于B的行数，因此若要使分块后的矩阵能够应用乘法，分块时A的列分法必须与B的行分法一致，而A的行分法与B的列分法可以任意。

例如A有5列B有5行，A分块为3列/2列，那么B就要分为3行/2行。

11. 按上一项所述，如果将A的每一列都分作为一块，同样将B的每一行都分作为一块，那么就可以得到：AB = [col1(A) col2(A) ... col n(A)] [row1(B) row2(B) ... row n(B)]T= sigma(col k(A)row k(B)) (1 ≤ k ≤ n)每个col k(A)row k(B)本身也是一个mxp矩阵（假设A为mxn矩阵，B为nxp矩阵）。

12. 单位下三角矩阵的逆也是单位下三角矩阵。

13. LU分解如果A可化为阶梯形U，且化简过程中仅使用行倍加变换（将一行倍数加到它下面的另一行），那么由于每次初等变换均等价于相应初等矩阵与A相乘，所以A到U的变换过程可表示为：E p...E1A=U于是A可表示为A=LU，其中L=(E p...E1)-1，即L=E1-1...E p-1由于单位下三角矩阵的逆也是单位下三角矩阵，所以L为单位下三角矩阵。

14. 向量空间：向量集中的向量满足加法交换律和结合律、标量乘法交换律和结合律、存在零向量和负向量，以上运算结果仍在该集合中。

15. 子空间：非空，对加法和标量乘法封闭（非空且封闭则必包含零向量）。

16. 若v1, v2, ... vp在V中，Span(v1, v2, ... vp)是V的子空间。

17. 设A为mxn矩阵，满足Ax=0的x集合是A的零空间，是R n的子空间，空间中的任意向量v满足Av=0。

18. 设A为mxn矩阵，A的列的所有线性组合是A的列空间，是R m的子空间，空间中的任意向量v使方程Ax=v相容。

19. 子空间的维与向量的维：向量中元素数量是向量的维；子空间的基的向量的数量是子空间的维。

20. 矩阵A的行空间的维=列空间的维=rank(A)21. 若A有n列，那么rank(A) + dim(Nul(A)) = n22. 矩阵的主元列构成列空间的基23. 若A，B均为nxn矩阵，则detAB=(detA)(detB) [注：一般来说det(A+B)≠detA+detB]24. 若A为nxn矩阵，且除了其中一列以外其他各列固定，那么detA是那个可变列的线性函数25. 若A是一个2x2矩阵，那么由A的列确定的平行四边形面积为|detA|若A是一个3x3矩阵，那么由A的列确定的平行六面体的体积为|detA|（若A为2x2矩阵，两列为v1，v2，那么平行四边形的四个顶点为0，v1，v2，v1+v2）（若A为3x3矩阵，三列为v1，v2，v3，那么平行六面体的八个顶点为0，v1，v2，v3，v1+v2，v1+v3，v2+v3，v1+v2+v3）26. 若T: R2->R2是由一个2x2矩阵A确定的线性变换，S是R2中的一个平行四边形，则：T(s)的面积=|detA|·S的面积3向量空间0. 尽管我们在大多数情况下我们以R n作为向量空间的研究对象，但实际上有很多非R n形式的向量空间。

例如，最高次幂为n的多项式空间。

1. mxn矩阵A的零空间是R n的子空间；同样，m个方程n个未知数的齐次线性方程组的解的集合也是R n 的子空间。

NulA的生成集中向量的个数等于方程Ax=0中自由变量的个数。

当且仅当Ax=0仅有平凡解，NulA={0}。

当且仅当x|->Ax是一对一的，NulA={0}。

2. mxn矩阵A的列空间是A的列的线性组合组成的集合，ColA是R m的子空间。

当且仅当Ax=b对每一个b都有一个解，ColA=R m当且仅当x|->Ax将R n映上到R m，ColA=R m3. 向量空间V->W的线性变换T将V中每个向量x映射成W中唯一向量T(x)线性变换T的核（即零空间）是V中所有满足T(u)=0的向量u的集合T的值域（即列空间）是W中所有具有形式T(x)的向量的集合4. 矩阵的行初等变换不影响矩阵列的线性相关关系（想象方程组的求解过程）5. 矩阵A的主元列构成ColA的一个基与矩阵A等价的阶梯矩阵的非零行构成RowA的一个基若两个矩阵行等价，它们有相同的行空间6. 如果一个一般意义上的向量空间（不一定是R x）的基包含n个向量，那么该向量空间中的某个向量可以用相对于该基的坐标操作，这样就使得操作V像操作R n一样方便。