第（5）题图射洪中学2014级高三下期入学考试文 科 数 学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则C U )(B A =( )A.{}134，，B.{}34，C. {}3D. {}4 （2）在复平面内,复数21iz i=+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）若从3个海滨城市和两个内陆城市中随机选2个去旅游，那么概率是710的事件是（ ） A.至少选一个海滨城市 B.恰好选一个海滨城市C.至多选一个海滨城市D.两个都选海滨城市 （4）已知向量(0,1)a =，(2,1)b =-，则|2|a b +=（ ）A ．22B ．5C ．2D ．4（5）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．5603 B ．5803C ．200D ．240 （6）在等差数列{}n a 中，已知40,2210471=+=+a a a a ，则公差=d （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（7）直线b y x =+43与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）A. -2或12B. 2或-12C. -2或-12D. 2或12 （8）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（）参考数据：3 1.732=，sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈．A．12B．24C．48D．96（9）已知数列{}na满足130n na a++=，243a=-，则{}na的前10项和等于（）A．106(13)---B．101(13)9-- C. 103(13)--D．103(13)-+（10）表面积为433的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）A．23πB．13π C.23πD．223π（11）已知函数()ln||f x x x=-，则()f x的图象大致为（）A B C D（12）设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x xf xx x-∈+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩若关于x的方程()log(1)0af x x-+=（0a>且1a≠）在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a的取值范围是（）A．()1,3B．4(5,)+∞C．(3,)+∞D．4(5,3)第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）在ABC∆中，若5b=，4Bπ∠=，tan2A=，则a=___________.（14）已知实数,x y满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≥≥,022,2,0yxyx则2x y-的最大值是___________．100200300400游客量（15）经过抛物线28y x =的焦点和顶点且与准线相切的圆的半径为___________．（16）函数f （x ）图象上不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）处的切线的斜率分别是k A ，k B ，|AB|为A 、B 两点间距离，定义φ（A ，B ）=为曲线f （x ）在点A 与点B 之间的“曲率”，给出以下问题：①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数f （x ）=x 3﹣x 2+1图象上两点A 与B 的横坐标分别为1，2，则点A 与点B 之间的“曲率”φ（A ，B ）＞；③函数f （x ）=ax 2+b （a ＞0，b ∈R ）图象上任意两点A 、B 之间的“曲率”φ（A ，B ）≤2a ； ④设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线f （x ）=e x 上不同两点，且x 1﹣x 2=1，若t•φ（A ，B ）＜1恒成立，则实数t 的取值范围是（﹣∞，1）．其中正确命题的序号为_______（填上所有正确命题的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . （I ）若2c =，3C π=，且ABC ∆3，求a ，b 的值；（II ）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断ABC ∆的形状.（18）（本小题满分12分）已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n （单位：百人）的关系有如下规定：当n ∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；第（19）题图当n ∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n ∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n 300≥时，拥挤等级为“严重拥挤”。

该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（I ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出b a ,的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；游客数量 （单位：百人）)100,0[ )200,100[ )300,200[ ]400,300[天数 a1041频率b31152301（II ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．（19）(本小题满分12分)如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA =，1AB =，2AC =，∠60BAC =︒. (I)求三棱锥P ABC -的体积；(II)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PMMC的值．（20）(本小题满分12分)已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）过点P （1，），其离心率为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的右顶点为A ，直线l 交C 于两点M 、N （异于点A ），若D 在MN 上，且AD ⊥MN ，|AD|2=|MD||ND|，证明直线l 过定点．（21）(本小题满分12分)已知函数()ln 1f x x kx =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：*2ln (1)(,1).14ni i n n n N n i =-<∈>+∑请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为11x t y t=-+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），曲线C 的普通方程为()()22215x y -+-=，点P 的极坐标为722,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（I ）求直线l 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；（II ）若将直线l 向右平移2个单位得到直线l '，设l '与C 相交于,A B 两点，求PAB ∆的面积．（23）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲射洪中学2014级高三下期入学考试文科数学答案DDCBC CDBCA AC210 6 3①③．17.（本小题满分12分） 试题解析：（I ）∵2c =，3C π=，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得224a b ab +-= (2)分又∵ABC ∆的面积为3，∴1sin 32ab C =，4ab =.……4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，解得2a =，2b =.……6分（II ）由sin sin()sin 2C B A A +-=，得sin()sin()2sin cos A B B A A A ++-=， 即2sin cos 2sin cos B A A A =，∴cos (sin sin )0A A B -=.……8分 ∴cos 0A =或sin sin 0A B -=，当cos 0A =时， ∵0A π<<，∴2A π=，ABC ∆为直角三角形；……10分当sin sin 0A B -=时，得sin sin B A =，由正弦定理得a b =，即ABC ∆为等腰三角形. ∴ABC ∆为等腰三角形或直角三角形.……12分 18.19.解：(I)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.……2分由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ­ABC 的高． 又PA ＝1，……4分所以三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.……6分(II)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N.在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM.由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥A C. 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN.……8分又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM.在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，……10分从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.……12分20. 解：（Ⅰ）由题意可得e==， 又a 2﹣b 2=c 2， 且+=1，解得a=2，c=1，b=，可得椭圆的方程为+=1；．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）证明：由AD ⊥MN ，|AD|2=|MD||ND|， 可得Rt △ADM ∽Rt △DNA ，即有∠DNA=∠MAD ，即∠MAN=90°， 由，M （x 1，y 1）N （x 2，y 2），A （2，0），可得（3+4k 2）x 2+8km+4m 2﹣12=0， x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，△=（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＞0，即4k 2＞m 2﹣3，．．．．．．．．．．．7分由AM ⊥AN ，可得•=﹣1，即为（x 1﹣2）（x 2﹣2）+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=0， 即（k 2+1）x 1x 2+（mk ﹣2）（x 1+x 2）+m 2+4=0， 即有（k 2+1）•+（mk ﹣2）（﹣）+m 2+4=0，化简可得7m 2+16km+4k 2=0，m=﹣k 或m=﹣2k ，满足判别式大于0，．．．．．．．．．．．10分 当m=﹣k 时，y=kx+m=k （x ﹣）（k ≠0）， 直线l 过定点（，0）；当m=﹣2k 时，y=kx ﹣2k=k （x ﹣2），直线l 过定点（2，0）． 由右顶点为A （2，0），则直线l 过定点（2，0）不符合题意， 当直线的斜率不存在时，也成立．根据以上可得：直线l 过定点，且为（，0）．．．．．．．．．．．．12分 21. 【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'1()f x k x=-．．．．．．．．．．．．2分 当0≤k 时，'1()0f x k x =->，则()f x 在(0,)+∞上是增函数 ； 当0>k 时，若1(0,)x k ∈，则'1()0f x k x =->；若1(,)x k∈+∞，则'1()0f x k x =-<．所以()f x 在1(0,)k 上是增函数，在1(,)k+∞上是减函数……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知0≤k 时，()f x 在(0,)+∞上是增函数， 而(1)10,()0f k f x =->≤不成立，故0>k ．．．．．．．．．．．．6分当0>k 时，由（Ⅰ）知()f x 的最大值为1()f k ．要使0)(≤x f 恒成立，则1()0f k≤即可． 故0ln ≤-k ，解得1≥k ．．．．．．．．．．．．8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1=k 时有()0f x ≤在(0,)+∞恒成立，且()f x 在(1,)+∞上是减函数，(1)0f =，所以ln 1x x <-在[)2,x ∈+∞上恒成立.令2x n =，则1ln 22-<n n ，即)1)(1(ln 2+-<n n n ，从而211ln -<+n n n ．．．．．．．．．．．10分 所以()41212322211ln 54ln 43ln 32ln -=-++++<+++++n n n n n．．．．．．．．．．．．12分 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。