一次函数与几何图形综合专题思想方法小结：（1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结：（1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．b＞0时，直线与x轴正半轴相交；②当k，b异号时，即-kb=0时，直线经过原点；当b=0时，即-kb﹤0时，直线与x轴负半轴相交．当k，b同号时，即-k③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合. 例题精讲：1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB(1) 求AC(2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ的数量关系，并证明你的结论。
(3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①x(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。
2．如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。
(1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。
(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。
xyo BA CPQM第2题图第2题图问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。
考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定． 专题：代数几何综合题．分析：（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；（2）由OA=OB 得到启发，证明∴△AMO ≌△ONB ，用对应线段相等求长度； （3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB 的长．解答：解：（1）∵直线L ：y=mx+5m ，∴A （-5，0），B （0，5m ），由OA=OB得5m=5，m=1，∴直线解析式为：y=x+5．（2）在△AMO 和△OBN 中OA=OB ，∠OAM=∠BON ，∠AMO=∠BNO ， ∴△AMO ≌△ONB ．∴AM=ON=4，∴BN=OM=3．（3）如图，作EK ⊥y 轴于K 点．先证△ABO ≌△BEK ，∴OA=BK ，EK=OB ．再证△PBF ≌△PKE ，∴PK=PB ．∴PB=21BK=21OA=25．点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题．第2题图3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， （1）求直线2l 的解析式；（3分）（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。
在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。
（6分）考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据题意先求直线l 1与x 轴、y 轴的交点A 、B 的坐标，再根据轴对称的性质求直线l 2的上点C 的坐标，用待定系数法求直线l 2的解析式；CBAl 2l 1xyCBAxy QMPCB Axy（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM=OM，根据线段的和差进行计算OM的值．解答：解：（1）∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（-3，0），B（0，3），∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴C（0，-3）∴直线l2的解析式为：y=-x-3；（2）如图1．答：BE+CF=EF．∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴AB=BC，∠EBA=∠FAC，∵BE⊥l3，CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°∴△BEA≌△AFC∴BE=AF，EA=FC，∴BE+CF=AF+EA=EF；（3）①对，OM=3过Q点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，又AB=AC ，∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ ， 则△QCH ≌△PBO （AAS ）， ∴QH=PO=OB=CH ∴△QHM ≌△POM ∴HM=OM∴OM=BC-（OB+CM ）=BC-（CH+CM ）=BC-OM ∴OM=21BC=3．点评：轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．4.如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，B (0，b )，且a 、b 满足.(1)求直线AB 的解析式；(2)若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值；(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为-1，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值．考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥Y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥X轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．解答：解：（1）要使b=有意义，必须（a-2）2=0，4-b=0，∴a=2，b=4，∴A（2，0），B（0，4），设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得：0=2k+b，4=b，解得：k=-2，b=4，∴函数解析式为：y=-2x+4，答：直线AB的解析式是y=-2x+4．（2）如图2，分三种情况：①如图（1）当BM ⊥BA ，且BM=BA 时，过M 作MN ⊥Y 轴于N ， △BMN ≌△ABO （AAS ）， MN=OB=4，BN=OA=2， ∴ON=2+4=6，∴M 的坐标为（4，6?）， 代入y=mx 得：m=23，②如图（2）当AM ⊥BA ，且AM=BA 时，过M 作MN ⊥X 轴于N ，△BOA ≌△ANM （AAS ），同理求出M 的坐标为（6，2），m=31，③当AM ⊥BM ，且AM=BM 时，过M 作MN ⊥X 轴于N ，MH ⊥Y 轴于H ，则△BHM ≌△AMN ， ∴MN=MH ，设M （x ，x ）代入y=mx 得：x=mx ，（2） ∴m=1，答：m 的值是23或31或1．（3）解：如图3，结论2是正确的且定值为2，设NM 与x 轴的交点为H ，分别过M 、H 作x 轴的垂线垂足为G ，HD 交MP 于D 点，由y=2k x-2k 与x 轴交于H 点， ∴H （1，0），由y=2k x-2k 与y=kx-2k 交于M 点， ∴M （3，K ）， 而A （2，0）， ∴A 为HG 的中点， ∴△AMG ≌△ADH （ASA ），又因为N 点的横坐标为-1，且在y=2k x-2k 上， ∴可得N?的纵坐标为-K ，同理P 的纵坐标为-2K ，∴ND 平行于x 轴且N 、D 的横坐标分别为-1、1 ∴N 与D 关于y 轴对称，∵△AMG ≌△ADH ≌△DPC ≌△NPC ， ∴PN=PD=AD=AM ， ∴AMPN-PM =2．点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．5.如图，直线AB ：y =-x -b 分别与x 、y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且OB ：OC=3：1。
（1）求直线BC 的解析式：（2）直线EF ：y =kx-k （k ≠0）交AB 于E ，交BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD 若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由（3）如图，P 为A 点右侧x 轴上的一动点，以P 为直角顶点，BP 为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ ，连接QA 并延长交ｙ轴于点K ，当P 点运动时，K 点的位置是否发现变化若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。