江苏高中数学典型题目 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】参变分离还是利用二次函数的图象1.已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为. 利用函数的性质解不等式2.已知知函数1()||1x f x x +=+，x R ∈，则不等式2(2)(34)f x x f x -<-的解集是。

(1，2) 3.已知函数f (x )＝，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是．(－∞，－3)∪(1，3)4.已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围为．(0,1) 双变量问题5、已知正实数x,y 满足42=++y x xy ，则y x +的最小值是________362-（消元法或判别式法）6、若a ＞0，b ＞0，且，则a+2b 的最小值为．（基本不等式法或消元法）7、已知x ，y 为正实数，则＋的最大值为▲．（齐次式消元）已知函数奇偶性求参数2.若函数2()2f x a x x a =-+-a 的值为________．2两个变量的函数 17南京二模应用题 和零点有关的题目已知零点个数求参数范围3、已知函数()22f x x x =+-，x R ∈.若方程()20f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为.),9()1,0(+∞⋃（可用参变分离）9．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为(0，]零点存在定理3.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f(x)的解析式；(2)是否存在整数m 使得方程f(x)＋＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．3.解：(1)f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )．(2)方程f(x)＋＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x ∈时，h ′(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数．∵h(3)＝1＞0，h ＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．（单调性+异号端点值）3、函数2)(--=x e x f x 的零点所在的一个区间是))(1,(Z n n n ∈+，则_____=n 1或-27.已知函数2()()x f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈。

当0a =时，求整数ｋ的所有值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解。

⑶当0a =时,方程即为e 2x x x =+，由于e 0x >，所以0x =不是方程的解，所以原方程等价于2e 10x x--=，令2()e 1x h x x =--，因为22()e 0x h x x '=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立，所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数，又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->，31(3)e 03h --=-<，2(2)e 0h --=>，所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根，且分别在区间[]12，和[]32--，上， 所以整数k 的所有值为{}3,1- 复合函数的零点个数10．已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设xx g x f )()(=． （1）求a 、b 的值； （3）若()03|12|2|12|=--⋅+-k k f x x 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．（复合函数根的个数）解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ．（3）原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2=++-⋅+--k k x x ，令t x =-|12|，则),0(∞+∈t ，0)12()23(2=+++-k t k t 有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101<<t ，12>t ，或101<<t ，12=t ．记)12()23()(2+++-=k t k t t h ，则⎩⎨⎧<-=>+0)1(012k h k ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+122300)1(012k k h k ②解不等组①，得0>k ，而不等式组②无实数解．所以实数k 的取值范围是),0(∞+．14.设定义域为R 的函数若关于x 的函数的零点的个数为▲．7 导数存在任意x1x2的题目 例1已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈.设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.当14a =时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11f(x )f(1)=-2≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21()2g x -≥，[]21,2x ∈，即存在[]1,2x ∈，使21()242g x x bx =-+≤-，即2922bx x ≥+，即922b x x ≥+∈1117[,]24，所以实数b 取值范围是),817[+∞。

(2016苏锡常镇二模12.)已知函数f (x )＝若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________． 分段函数的单调性10、⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，则a 的取值范围是_________)31,71[和切线有关的导数题目（三句话）1,过点()1,0-.与函数()x f x e =(e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是____1+=x y公切线20、已知函数(),()ln x f x e g x x ==，设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l 与y=f(x)图象也相切； （2）()g x 在0x x =处切线方程为001ln 1y x x x =+-① 设直线l 与x y e =图像相切于点()11,x x e ，则:l ()1111x x y e x e x =+-②……(6分)③由①②得 ④0001ln 01x x x +∴-=-⑤ 下证0x 在()1,+∞上存在且唯一.令()()1ln 11x G x x x x +=->-，()()221'01x G x x x +=>-()G x ∴在()1,+∞上.又()()222230,0,11e G e G e e e --=<=>--()G x 图像连续，∴存在唯一0x ∈()1,+∞使⑤式成立，从而由③④可确立1x .故得证已知极值求参数（检验）3、已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=．对函数求导得2'()36f x x mx n =++,由题意得(1)0'(1)0f f =⎧⎨=⎩,即2130360m n m m n ⎧+++=⎨++=⎩解得:13m n =⎧⎨=⎩或29m n =⎧⎨=⎩,当13m n =⎧⎨=⎩时22'()3633(1)0f x x x x =++=+≥,故29m n =⎧⎨=⎩,11m n +=含参数不等式恒成立中参数是整数的题目20.(本小题满分16分)己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值:方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(，所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x -+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，()11011ln 1x x ex x e x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立．当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-，令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a =-⨯+-⨯+=-．令1()ln 2h a a a =-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2．方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立，问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立．令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥ 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++．因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-< 所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2．绝对值函数（2015泰州二模13）.若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是▲．(,2][5,)-∞+∞(2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|，a ∈R ，g (x )=x 2-1.记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式.(2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )=x 2-ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )=f (2)=4-2a.当0<a<2时，f (x )=22-0-2x ax x a x ax a x ⎧+≤<⎨≤≤⎩，，，，则f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在区间2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )=max (2)2a ff ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，，而f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ，f (2)=4-2a ，令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<f (2)，即24a <4-2a ，解得-4-4<a<-4+4，所以当0<a<4时，F (a )=4-2a ；令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥f (2)，即24a ≥4-2a ，解得a ≤-4-4或a ≥-4+所以当4≤a<2时，F (a )=24a .当a ≥2时，f (x )=-x 2+ax ，当1≤2a <2，即2≤a<4时，f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则F (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ；当2a≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，则F (a )=f (2)=2a-4；综上，F (a )=24-2442-4 4.a a aa a a ⎧<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，，，， 先求轨迹的题目(2017南京二模11)．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为▲．3已知圆22:1C x y +=与x 轴的两个交点分别为,A B （由左到右），P 为C 上的动点，l 过点P 且与C 相切，过点A 作l 的垂线且与直线BP 交于点M ，则点M 到直线290x y +-=的距离的最大值是▲． （常州2016一模13）13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是____________．（切线长公式）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+，则PQ 的最小值为▲．3、已知A(-1，0)，B(0，1)，则满足422=-PB PA 且在圆422=+y x 上的点P 的个数为______2阿波罗尼斯圆（苏北四市2016一模13）已知点(0,1)A ，1,0B （），(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若2AD BD ≤恒成立，则最小正整数t 的值为▲．4满足条件AB ＝2,AC ＝BC 的三角形ABC 的面积的最大值是2（也可以用解三角形的方法） 存在性的题目1、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是▲．∵圆C 的方程可化为：()2241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。