渐近正态分布，此时样本平均数分布的平均数 X
误 X
。根据正态分布，可以说：有95%的 X 落在 n 之间包含所有的 X 的 1 . 96 1 . 96 之间，或者说： X
X

，标准
95% ，即
P 1 . 96 X 1 . 96 0 . 95 X X
良好估计量的标准
（1）无偏性：用统计量估计总体参数一定会有误差， 不可能恰恰相同。因此，好的估计量应该是一个无偏估计 量，即用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其偏 差的的平均值为0。 （2）有效性：当总体参数的无偏估计不止一个统计量， 无偏估计变异性小者有效性高，变异大者有效性低。 （3）一致性：当样本容量无限增大时，估计量的值能 越来越接近它所估计的总体参数值，估计值越来越精确， 逐渐趋近于真值。 （4）充分性：一个容量为的样本统计量，是否充分地 反映了全部个数据所反映总体的信息。
（其中 ） X Z X Z 总体分布为非正态时
2 总体分布非正态，总体方差 已知，这时只有当样本容量
n 30 时，其样本平均数 的分布为渐近正态分布，这时可用下式 X
计算其置信区间： （ 其中 ） X Z X Z X X
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第六章 抽样分布及总体 平均数的推断
第一节 第二节 第三节 第四节 抽样分布 总体平均数的推断 假设检验的基本原理 总体平均数的显著性检验

第一节 抽样分布
一、抽样分布的概念
区分三种不同性质的分布
总体分布：总体内个体数值的频数分布 样本分布：样本内个体数值的频数分布 抽样分布：某一统计量的频数分布

以上几条定理反应了平均数抽样分布的形态，一切可能 样本平均数与总体平均数之间的关系；平均数抽样分布的标 准差与总体标准差之间的关系。 抽样分布是统计推断的理论依据。实际中只能抽取一个 随机样本根据一定的概率来推断总体的参数。即使是抽取一 切可能样本，计算出的某种统计量与总体相应参数的真值， 大多也是不相同的，这是由于抽样误差的缘故。抽样误差用 抽样分布的标准差来表示。因此，某种统计量在抽样分布上 的标准差称为该种统计量的标准误。 标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近， 样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠 度越大，所以标准误是统计推断可靠性的指标。
2.区间估计
区间估计的概念 区间估计是指以样本统计量的样本分布为理论依据 ，按一定的概率要求，由样本统计量的值估计总体参数
值的所在范围。
置信区间与显著性水平 置信区间是指在某一置信度时，总体参数所在的区 域距离或区域长度。 显著性水平是指估计总体参数落在某一区间时，可
能犯错误的概率，用α表示。1－α 为置信度或置信水平
或
X Z （正态分布） （ｔ分布） X t S X t S
X 2
2 X 2
X
X
（6）解释总体平均数的置信区间。
总体方差σ2 已知时，对总体平均数μ的估计
（1）当总体分布为正态时
2 当总体分布为正态，总体方差 已知时，样本平均数 的分 X 布为正态分布，这时可用下式计算其置信区间：
2 2
X
n
例如：某小学10岁全体女童身高历年来标准差6.25cm，
三、样本平均数与总体平均数离差统计量的形态
从正态总体中随机抽取样本容量为n的一切可 能样本平均数以总体平均数为中心呈正态分布。
当总体标准差已知时：
X X Z
X

N ( 0 , 1 )
n
当总体标准差未知时：
总体标准差
的无偏估计量为
2 ( X X )
S
n1
X ( X )/ n S X S X n ( n 1 ) n n 1

估计总体平均数的步骤
（1）根据实得样本的数据，计算样本平均数与标准差。
（2）计算标准误。 X （ 已知）或 2
S SX（ 未知） 2 n n （3）确定置信区间或显著性水平。 （4）根据样本平均数的抽样分布，确定查何种统计表。 （5）计算置信区间。
X Z
2

但是，在实际研究中，只能得到一个样本平均数，我 们可以将这个样本平均数看做是无限多个样本平均数之中
的一个。于是将上式经过移项写成
这意味着有 95% 的 μ落在 X 之间，或者说 1 . 96 X ，估计 μ落在 之间正确的概率为 95% 。 X 1 .96 X
P X 1 . 96 X 1 . 96 0 . 95 X X
2 2
X X t S S X n
t(n 1 )
第二节 总体平均数的估计
参数估计 假设检验
一、总体参数估计的基本原理
根据样本统计量对相应总体参数所作的估计叫总 体参数估计。总体参数估计分为点估计和区间估计。
1.点估计 点估计是指用样本统计量的值来估计相应总体参 数的值。点估计的优点在于它能够提供总体参数的估 计值；缺点在于它总是以误差的存在为前提，但又不 能提供正确估计的概率。
。
区间估计的原理
区间估计的原理是样本分布理论。在计算区间估计值、解
释估计的正确概率时，依据是该样本统计量的分布规律及样本
分布的标准误。 下面以平均数的区间估计为例，说明如何根据平均数的样
本分布及平均数分布的标准误，计算置信区间和解释成功估计
的概率。 当总体标准差σ为已知时，样本平均数的分布为正态分布或
二、平均数抽样分布的几个定理
（1）从总体中随机抽取容量为n的一切可能样本的平
均数之平均数等于总体的平均数，即
E(X)
（2）容量为n的平均数在抽样分布上的标准差，等
于总体标准差除以n的平方根，即
X n
（3）从服从正态分布的总体中，随机抽取容量为n 的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。 （4）虽然总体不呈正态分布，如果样本容量较大， 反映总体 和 的样本平均数的抽样分布，也接近于 正态分布。