复积分的牛顿－莱布尼兹公式
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世界科技发展史 10万年前火的使用、石制工具 3万年前关于来世、生育等思想 1万年前栽种谷物、动物驯养、陶器出现 5000年前金字塔和庙宇、史前巨石阵 4000年前中国早期的天文学，金属加工，印度数学开 端 3000年前埃及历法 约2000年前后托勒密的天文学和地学 希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯（公元前572--公元前 497年）、柏拉图(公元前427年--前347年）和亚里士多 德（公元前384 -- 公元前322）和希腊数学家如欧几里 得（公元前325--公元前265）
典型应用实例
例 3.2.1 计算积分

b
a
z sin z dz
2
【解】 函数 z sin z 2 在 z 平面上解析，
1 易知 cos z 2 为它的一个原函数，根 2
据复积分的牛顿－莱布尼兹公式有

b
a
1 1 2 2 z sin z dz cos z cos a 2 cos b 2 2 2 a
例

sinhz z
2
| z|1
dz

2 i ( n ) dz f (a) n 1 L n！ （ z a） f ( z)

–例
• 问题：计算回路积分
2 i ( n ) dz f (a) n 1 L n！ （ z a） f ( z)

sinhz z
2
| z|1
dz
• 分析：与推广的柯西公式比较， 可知f(z)=sinh(z)，a = 0，n = 1 • 解：由推广的柯西公式
t 1 所以

1
i
z t t 1 zdz d( ) d( ) [1 (1)] 1 i 1 2 2 2 1 2
1 1
2
1
例3.2.4 计算积分

i
0
z sin zdz
【解】 由于
i
z sin z 在复平面内处处解析，
i 0
因而积分与路径无关，可用分部积分法得
y
指出
y R x R
y
r R
O
O
x
O
x
| z | R
y
2
| z | R
y
1
r | z | R
y
O
1
O
x
-R
O
R
x
x
1 arg z 2
Im z 0
| z | R, Im z 0
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1 2
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3
举例
计算
dz l z 1
dz l z 1
dz l z 3
l 是圆周 z 2
可直接用如下公式：
dz l z 3i
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作业（必做）
计算
dz l z 2 1
-2 0
y
2
x 1 2
l 是圆周 z 2
可直接用如下公式： -1
-2
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计算
dz l z 2 1
0
l 是圆周 z 2
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dz 1、 计算 l z 2 9 , 其中闭合曲线 l
(1)包围3i，不包围 3i (2)包围 3i，不包围 3i (3)包围 3i和3i z - sinz 2、 计算 l 6 dz z
作业（选做）第31页
dz 1、 计算 l z 2 9 , 其中闭合曲线 l
(1)包围3i，不包围 3i (2)包围 3i，不包围 3i (3)包围 3i和3i z - sinz 2、 计算 l 6 dz z

2 i ( n ) dz f (a) n 1 L n！ （ z a） f ( z)
z 2 i cosh0 2 i

sinhz
2
| z|1
dz 2 i sinh'(0)
f
(n)
n! ( z) 2 i

f ( ) ( z )
n 1
L
d
作业（必做）
Δ
Ε Ζ
ε
δ ε
对数之基数
系数，方位角，阻 抗，相对粘度 迟滞系数，效率
Θ
Η Θ
ζ
η℩ θ
theta
iota kappa lamb da mu
温度，角度
微小，一点 介质常数
∧
Μ
ι
κ
波长，体积
磁导系数，微，动 摩擦系数，流体粘
例
计算

C
zdz ，其中C为从原点
到点3+4i的直线段．
【解】 直线的方程可写成 或 于是 又因
– 例2
• 问题：计算回路积分

1 dz | z |1 z ( z 2)
• 分析：与柯西公式比较， 可知f(z)= ，a =

例3
• 问题：计算回路积分 • 分析：

| z | 2
1 dz z ( z 1)
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记住 或

2 i ( n ) dz f (a) n 1 L n！ （ z a） f ( z)
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这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，古莎(Goursat)于
1900年提出了修改，故又称为柯西－古莎定理.
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举例
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举例
举例
填“顺时针方向”，“逆时针方向”
据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿 方向。而对于有界复连通区域，外边界取 方向，内边界取 反，内边界取 为边界线的正方向）
z sin zdz zd( cos z)
0
z ( cos z ) 0 ( cos z )dz
i 0
i
icosi sini i(cosi isini) ieii ie1
附：希腊字母读音表及意义
大写 Α Β Γ Γ 小写 α β γ δ 英文读 音 alpha beta gam ma delta epsilo n zeta eta 国际音 标 /'alfa / /'beit ə/ /'gæ mə / /'delt ə/ /ep'si lon/ /'zi:tə / /'i:tə / /'ζi:t ə/ /ai'o ute/ /kæ p ə/ /'læ m də / /mju: / 意义 角度，系数 磁通系数，角度， 系数 电导系数，角度 变动，密度，屈光 度
b
例3.2.2 （非闭合环路积分中的换元积分法）
计算积分

1
i
zdz
【解法1】z 在整个复平面上解析，且
1 2 z z 2
运用复积分的牛顿－莱布尼兹公 式有 1

i
zdz
1 2 1 1 2 z |i [1 (i) 2 ] 1 2 2
【解法2】换元积分法 令 t z 2 ，则当 z i ，有 t 1 ；当 z 1 ，有
C C C
由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实 积分与路径无关的条件，所以 zdz
1 (3 4i) 2 样的曲线都等于 2
C
的值不论 C 是怎
，这说明有些函数的积分值
与积分路径无关．
作业（必做）
计算

1i
0
( x y ix )dz
2
积分路径是直线段
计算

1i
0
( x y ix )dz
cosh z dz | z| 2 z 1
• 分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a = -1 •解：由柯西公 式
f ( z) dz 2 i f (a) za

cosh z dz 2 i cosh( 1) 2 i cosh1 | z| 2 z 1
柯西公式
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应用举例

L
f ( z) dz 2 i f (a) za

cosh z dz | z| 2 z 1

1 dz | z |1 z ( z 2)

| z | 2
1 dz z ( z 1)
柯西公式
• 应用举例
– 例1
• 问题：计算回路积分


L
0
3


3
2i 5!
本章小结
• 路积分 – 复变函数的路积分可分解为2个线积分； – 一般情况下，路积分与积分路径有关； • 柯西定理 – 在单连通区域内解析，则路积分与路径无关， 完全由起点和终点决定； – 在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路 里所有内边界线积分之和。 • 柯西公式 n! f ( ) (n) f ( z) d n 1 2 i L ( z )
C
C
f ( z )dz
性质
[ f g ]dx
a
b
b
a
fdx gdx
a a b
[ f g ]dz
C
C
fdz gdz
C C

c a
b
a
f ( x)dx f ( x)dx
b b c a

C
f ( z )dz f ( z )dz
f dx f dx f dx
2
积分路径是直线段
1 (1 i ) 3
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CR
R
L
z0
图 3.10
• 单连通区域与多连通区域