气泡的声学特性分析
2.2.1 气泡的散射特性
上世纪50年代后期，海洋学者开始意识到了气泡研究对于海洋探测的重要性，自从Urick 和Hoover 在1956年发现了气泡对于声波的散射后，气泡的散射问题就一直是水声研究领域的经典问题错误!未找到引用源。
目标对声信号的散射能力根据不同性质、大小、形状的目标而不同，同时也与声波的入射方向有关[9]。
因此,对于水声探测来说，目标散射场特性的研究尤为重要。
沿x 轴方向传播的平面声波入射到半径为R 的软球边界上，观察点(,)S r θ处的声场。
如图2.1所示，x 轴方向为零度方向。
)
,(t x p i θ
(,)
S r θx
R O
图2.1 平面声波在软球球面上的散射
入射平面声波表达式为：
)cos (0)(0),(θωωkr t j kx t j i e p e p t x p --==
(2-1) 其中，λ为波长，c 为介质声速，ω为角频率，λπω2==c k 为波数，),(θr 为点S 的球坐标。
根据波动方程和软球应满足的边界条件，球面上的声压为零,即
0 (r )i s R p p +== (2-2)
声场关于x 轴对称，所以取满足以x 轴对称的球坐标系的波动方程的解为 (2)0(cos )()j t
s m m m m p R P h kr e ωθ∞==∑ (2-3)
其中，m R 为常数， )()2(x h m 为第二类m 阶汉克尔（Hankel ）函数，为
m 阶勒让德(Legendre)多项式，代表声波的传播方向为由球心向外。
入射平面声波可以分解为球函数的和：
∑∞=+-=00)()(cos )12()(),,(m m m m t
j i kr j P m j e p t r p θθω (2-4)
其中，)(kr j m 为m 阶球贝塞尔（Bessel ）函数。
将(2-2)，(2-3)和(2-4)式合并，解出m a ，则s p 为：
(2)0(2)0()(,,)()(21)()(cos )()j t
m m s m m m m j kR p r t p e j m h kr P h kR ωθθ∞==-+∑(2-5)
式(2-5)中，s p 为声波散射场，R 表示散射球的半径。
图2.2 软球半径一定时软球散射场的指向性
由软球散射声场指向性图可知，在软球半径一致的条件下，随着发射信号的中心频率不断增加（50kHz,100kHz,200kHz,400kHz），散射声场指向性图中零点变多；波瓣变窄；同时伴随越来越剧烈的起伏。
图2.3 频率一定时软球散射声场的指向性
由图2.3能够看出在发射信号的中心频率相同的条件下，随着软球半径的减小（2mm,1.5mm,1mm,0.5mm ），指向性逐渐增强。
基于软球尺度和回波散射强度的关联性，可以根据不同中心频率的发射信号的回波变化来推算出热液喷口物质的尺度分布情况。
2.2.2 气泡的谐振特性
气泡层的浓度和深度与表层水的湍动混合强度、溶解在水中的空气的饱和程度、波浪要素及空气强度有密切联系。
声波在水下传播通过气泡层，由于气泡的散射作用和气泡的吸收作用会产生不同程度的衰减[10]。
通常状况下，气泡可看作为一个充满气体的腔，是某些频率围声波的有效吸收体和散射体。
声波在水下传播通过气泡层，由于气泡中气体的存在使其传播介质出现不连续性，导致声波发生强烈的散射，声波强度大大减弱，这就是气泡对声波的散射作用声波在通过气泡层的过程中，气泡在声波的作用下作强迫振动，同时作为次级声源向周围介质中辐射声能，整个过程中伴随着声能量的衰减[11]。
气泡在作强迫振动时受到压缩和伸，引起气泡的形变及部气体的温度的变化，气泡与海水介质进行热传导，将声能转化为热能扩散至海水介质中。
此外，在流体的黏滞力作用下，作强迫振动的气泡表面在与介质之间产生摩擦作用，致使部分声能转化为热能散发出去。
此为气泡对声波的吸收作用。
另外，因为不同气体在水中的溶解度不同，所以气泡所含气体成分与大气中的成分并不相同。
这也使气泡对于声波的散射影响不同错误!未找到引用源。
声波通过气泡群传播时的衰减最大，对应于声呐系统中的回声声源级的强烈衰减错误!未找到引用源。
小气泡（a λ?，a 为气泡半径）在声波作用下本身近似地作均匀形变，类比于一个弹性元件错误!未找到引用源。
通过分析可知气泡做强迫振动时的等效机械阻抗为：
(){}22000022
0()
()13m s s A A A A A A Z R j m D cs ka j cs ka p s V cs ka ka j p a ωρργω
ργρω=+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦ (2-6)
令上式虚部为0，得到气泡的谐振频率为:
0f =(2-7)
其中c 为介质中的声速，2k f c π=为波数，a 为气泡半径，单位为cm ，ω为声波圆频率，204s a π=为气体表面积，气泡周围介质密度为A ρ，所以可知气泡的在压力为：02/A p p a τ=+，τ为表面力，0p 为1个标准大气压，γ为气泡等压比
热与等容比热的比值，对于空气来说气体的比热比为 1.41γ=,气泡的体积是20=43V a π。
由此可见，气泡的谐振频率由气泡的半径以及气泡部的压强决定。
对于水中的气泡，取 1.41γ=，对于在水面附近的气泡来说，210/A p N cm =，水的密度3=1A g cm ρ，代入到式(2-7)可得：
0326f a = (2-8) 其中，a 的单位为cm ，0f 的单位为kHz 。
如果海水深度为d ，则气泡的谐振频率表示为：
032610.03f d a
=+ (2-9)
其中0f 的单位为kHz ，a 的单位为cm ，d 的单位为m 。
根据式(2-7)，在水深为1m 的条件下，谐振频率0f 与气泡半径()a m μ的关系如图2.4所示；在气泡半径一定为100m μ的条件下，谐振频率0f 与水深d 之间的关系如图2.5所示。
图2.4 深度一定谐振频率 图2.5 气泡半径一定谐振频率
和气泡半径的关系 和深度之间的关系
2.2.3 气泡的散射功率及截面
将公式(2-7)带入到公式(2-6)中，得到气泡的机械阻抗为：
()22001m A Z cs ka ka j f f ρ⎡⎤=+-⎣⎦ (2-10) 根据公式(2-10)不难求出气泡的散射功率s W 为：
220222
022222020222202
0222202().2()
()(1).2()(1)4()(1)
A s s m A A A A A p s R W Z cs ka p cka ka f f s p c ka f f I a ka f f ρρρπ=
=+-=
+-=+- (2-11) 散射功率s W 与气泡截面2a π和入射声波强度0I 的乘积成正比；并会随着入射声频率的变化而变化，在入射声频率等于谐振频率时达到最大：
0smax 24I W k π=
(2-12)
斯皮策（Spitzer ）给出了理想情况下气泡散射截面s σ的表达式： 2
222204(1)+()s a f f ka πσ=- (2-13)
其中，a 为气泡半径，f 为入射声波频率，0f 为共振频率，k c ω=为共振时波数，其中c 为介质中的声速。
由上式可知，散射截面在0=f f 时最大，但是当入射声频率逐渐偏离共振频率时，散射截面随频率偏移而减小错误!未找到引用源。
这与具有电阻损耗的调谐电路的响应曲线一样。
图2.6为气泡半径分别为20,200,2000 m μ的情况下，散射截面与频率的关系。
图2.6 散射截面与频率的关系
图2.7为小气泡(a λ≤)在水中的散射截面随频率变化的关系[16]。
图中T σ为总阻尼常数; 2s 1.3610σ-=⨯为散射引起的阻尼常数;横坐标为入射声波频率与共振频率比值;纵坐标为气泡散射截面与几何截面比值。
图中的曲线为理想状态下及实际状态下气泡散射截面与几何截面比值随频率变化的曲线。
f f的关系曲线
图2.7 水中气泡散射截面与几何截面之比与归一化频率
在入射声波频率小于共振频率的条件下，气泡散射与频率的四次方成正比且散射很小错误!未找到引用源。
；在入射声波频率增长到与共振频率相等时，气泡的散射截面达到最大；入射声波频率接近等于10倍的共振频率时，气泡散射截面趋近于一个4倍于气泡几何截面的常数；当声波频率继续增大时，气泡散射截面逐渐减小为与其几何截面相等。
实际情况下的气泡在水中具有较大的阻尼，其散射截面大约为几何截面的200倍，散射截面小于理想状况下的值。
对于水下某一固定深度的气泡来说，气泡共振时其半径与共振频率存在固定的对应关系，且其散射截面有显著增大。
综上可得出结论：在发射声学频率与气泡共振频率相等的条件下气泡产生共振，因为其散射截面最大且目标强度最强，所以最容易被声呐探测到。