y
y
y
ox
ox o x
y
o
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
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想一想?
这种坐标 系下的抛物 线方程形式 怎样?
y2=2px (p>0)
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解：设取过焦点F且垂直于准线l的
直线为xy轴轴，线段KF的中垂线为yx轴轴
设 |F K | p ,(p 0 ),M (x ,y ),
则F(p,0),l:xp
2
2
y
l
d .M
M Fd即(xp)2y2|xp|
2
2
K.
OF
x
x2pxp2y2x2pxp2
4
4
y22p,x (p0)（ 其 中 p 是 焦 点 到 准 线 的 距 离 ）
－－抛物线标准方程
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焦
·F 点
物线.
点F叫抛物线的焦点,
l
准线
e=1
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
即:若 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. d
那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简
单,其标准方程形式怎样?
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三、抛物线的标准方程：
yy
H
M·
定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
(其中定点不在定直线上)
(1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
l
l
M
M
·F
F·
0＜e ＜1
e＞1
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是1
几何画板观察
探 究
y 0 0 ·F
l e=1
0
如何建立坐标系呢？
C
思考：抛物线是
x x轴对称图形吗？
怎样建立坐标系, 才能使焦点坐标 和准线方程更简
x 捷?
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标准方程的推导 人教版-抛物线PPT教学课件
如 图 ， 以 过 F 点 垂 直 于 直 线 l的 直 线 为 x 轴 ，
F 和 垂 足 的 中 点 为 坐 标 原 点 建 立 直 角 坐 标 系 .
准线方程
x p 2
y2 2px
p0
p ,0 2
x p 2
x2 2py
p0
0 , p 2
y p 2
x2 2py
p0
0 , p 2
y p 2
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y
O •F
x
y
•F O x
y
•F
O
x
l
y
O
l x
•F
y 2 2 px
y 2 2 px
x 2 2 py
x 2 2 py
x22p(yp0)
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置 不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四 种形式.
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图像
y
O •F
x
方程
y 2 2 px p0
y
•F O x
y
•F
O
x
l y
O
l x
•F
y 2 2 px p0
x 2 2 py p0
生活中存在着各种形式的抛物线
抛物线及其标准方程(一)
球在空中运动的 轨迹是抛物线规律, 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢?
二次函数 y ax2 bx c(a 0) 又到底是一条怎样的 抛物线?
复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条
x 2 2 py p0
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焦点
F ( p , 0) 2
F( p , 0) 2
F (0, p) 2
F(0, p) 2
准线 x p
2
x p 2
y p 2
y p 2
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图形
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标准方程
y2 2px
p0
焦点坐标
p ,0 2
标准方程 人教版-抛物线PPT教学课件
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方
程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离
想一焦点想坐:标坐是标(系2p 的, 0建) ,立准还线有方没程有为其: 它x 方案2p也
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程的形式简单 ？
2
2
(2)因为焦点在y轴的负半轴上，且
p 2
2,
p 4 ,所以所求抛物线的标准方程是 x2 8 y
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练习： 人教版-抛物线PPT教学课件
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。 y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
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2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x
（2）x2=
1 4
y
（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
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根据标准方程的知识,我们可以确定抛物
线的焦点位置及准线方程.
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的 焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准 方程.
解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是 ( 3 , 0 ) ,
准线方程是 x 3
H
？
M· C
·F
l e=1
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
二、抛物线的定义： 人教版-抛物线PPT教学课件
在平面内,与一个定点F
H
· d M
C
和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛
y
设︱KF︱= p
· ·
则F（p20
,，p 0），l：yx
2
=
-
p 2
M
F x
设点M的坐标为（x，y），
o
由定义可知 |MF|=|MN| 即： N
K
l
(xy p)2xy2xyp
2
2
化简得 xy2 = 2pxy（p＞0）
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y2=2px (p>0)
p0
p0
p0
p0
相同点： （1）顶点为原点;
记忆方法：P永为正，一次项变量为对 称轴，一次项变量前系数为开口方向， 且开口方向坐标轴的正（负）方向相
（2）对称轴为坐标轴;
同
（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p/2. 不同点：
（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;
（2）一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方 向.人教版-抛物线PPT教学课件