功和能专题要点１．做功的两个重要因素：有力作用在物体上且使物体在力的方向上发生了位移。

功的求解可利用θcos Fl W =求,但F 为恒力；也可以利用F-l 图像来求;变力的功一般应用动能定理间接求解。

2．功率是指单位时间内的功,求解公式有θcos V F tWP ==平均功率，θcos FV tWP ==瞬时功率，当0=θ时,即F 与v 方向相同时，P=FV 。

3.常见的几种力做功的特点⑴重力、弹簧弹力，电场力、分子力做功与路径无关 ⑵摩擦力做功的特点①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力）可以做正功，也可以做负功,还可以不做功。

②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零,在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的转移，没有机械能的转化为其他形式的能；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值，在一对滑动摩擦力做功的过程中，不仅有相互摩擦物体间机械能的转移,还有机械能转化为内能。

转化为内能的量等于系统机械能的减少，等于滑动摩擦力与相对路程的乘积。

③摩擦生热,是指动摩擦生热,静摩擦不会生热 4.几个重要的功能关系⑴重力的功等于重力势能的变化，即P G E W ∆-=⑵弹力的功等于弹性势能的变化,即P E W ∆-=弹⑶合力的功等于动能的变化,即K E W ∆=合⑷重力之外的功(除弹簧弹力）的其他力的功等于机械能的变化，即E W ∆=其它⑸一对滑动摩擦力做功等于系统中内能的变化，相对Fl Q =⑹分子力的功等于分子势能的变化。

典例精析题型1.(功能关系的应用）从地面竖直上抛一个质量为m 的小球，小球上升的最大高度为H 。

设上升过程中空气阻力为F 恒定。

则对于小球上升的整个过程，下列说法错误的是（ ）A. 小球动能减少了mgH B 。

小球机械能减少了FH Ｃ。

小球重力势能增加了m ｇＨ D 。

小球加速度大于重力加速度ｇ 解析:由动能定理可知，小球动能的减小量等于小球克服重力和阻力Ｆ做的功。

为(mg+Ｆ)Ｈ，A 错误;小球机械能的减小等于克服阻力F 做的功，为FH,B 正确;小球重力势能的增加等于小球小球克服重力做的功,为mgH ，Ｃ正确;小球的加速度g mFmg a >+=,D 正确规律总结:⑴重力做功与路径无关,重力的功等于重力势能的变化⑵滑动摩擦力（或空气阻力)做的功与路径有关，并且等于转化成的内能⑶合力做功等于动能的变化⑷重力（或弹力）以外的其他力做的功等于机械能的变化 题型２.（功率及机车启动问题）在汽车匀加速启动时，匀加速运动刚结束时有两大特点： ⑴牵引力仍是匀加速运动时的牵引力，即ma F Ff =-仍满足⑵Fv P P==额2.注意匀加速运动的末速度并不是整个运动过程的最大速度题型３.(动能定理的应用）如图所示,竖直平面内的轨道A ＢCD 由水平轨道AB 与光滑的四分之一圆弧轨道CD 组成,A Ｂ恰与圆弧C Ｄ在C 点相切，轨道固定在水平面上。

一个质量为m 的小物块（可视为质点）从轨道的Ａ端以初动能E 冲上水平轨道AB ,沿着轨道运动，由DC 弧滑下后停在水平轨道AB 的中点。

已知水平轨道AB 长为Ｌ。

求: （1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ(2)为了保证小物块不从轨道的D 端离开轨道,圆弧轨道的半径R 至少是多大？（３）若圆弧轨道的半径Ｒ取第(２)问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是１.5Ｒ处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上。

如果能,将停在何处?如果不能，将以多大速度离开水平轨道？解析：（1）小物块最终停在A Ｂ的中点,在这个过程中，由动能定理得：E L L mg -=+-)5.0(μ 得mgLE32=μ(2)若小物块刚好到达D 处,速度为零，同理,有E mgR mgL -=--μ,解得CD 圆弧半径至少为 mgE R 3=(3)设物块以初动能Ｅ′冲上轨道，可以达到的最大高度是１.５R ,由动能定理得,E mgR mgL '-=--5.1μ,解得67E E =',物块滑回C 点时的动能为25.1EmgR E C==，由于32EmgL E C=<μ,故物块将停在轨道上。

设到A 点的距离为ｘ，有 C E x L mg -=--)(μ ,解得 L x 41= ,即物块最终停在水平滑道A Ｂ上，距A 点L 41处。

题型4.（综合问题)如图甲所示,ａbc ｄef 为同一竖直平面上依次平滑连接的滑行轨道,其中ab 段水平,H ＝３m ，bc 段和ｃd 段均为斜直轨道,倾角θ=37º，ｄe 段是一半径Ｒ=2.5m 的四分之一圆弧轨道,ｏ点为圆心,其正上方的ｄ点为圆弧的最高点，滑板及运动员总质量m=60kg ，运动员滑经d 点时轨道对滑板支持力用Nd 表示,忽略摩擦阻力和空气阻力，取g=1０m ／s2，si ｎ３7º=0.6， cos3７º＝０.８ 除下述问（3)中运动员做缓冲动作以外,均可把滑板及运动员视为质点。

（1)运动员从bc 段紧靠ｂ处无初速滑下，求Ｎd 的大小；(2)运动员逐渐减小从bc 上无初速下滑时距水平地面的高度h ，请在图乙的坐标图上作出 Nd-h 图象(只根据作出的图象评分，不要求写出计算过程和作图依据);(3)运动员改为从b 点以υ０=4m ／s 的速度水平滑出,落在bc 上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，则他是否会从d 点滑离轨道?请通过计算得出结论 解析:解:(1)从开始滑下至d 点，由机械能守恒定律得221)(υm R Hmg =-① Rm N mg d 2υ=-②,由①②得：N RHmg N d360)23(=-=③ (2)所求的h N d -图象如图所示 (３)当以s m /40=υ从b 点水平滑出时,运动员做平抛运动落在Q 点，如图所示设Bq ＝1s ，则212137sin gt s =④t s 00137cos υ=⑤，由④⑤得,s gt 6.037tan 200==υ⑥s m gt y /6== ⑦ 在Q 点缓冲后s m y Q /8.637cos 37sin 000=+=υυυ ⑧从d Q → 222212121)(Q d m m mgR gt H mg υυ-=-- ⑨ 运动员恰从ｄ点滑离轨道应满足:Rm mg d2`υ=⑩由⑨⑩得76.422`=-d dυυ 即d d υυ>` ⑩可见滑板运动员不会从圆弧最高点d 滑离轨道。

专题突破针对典型精析的例题题型,训练以下习题1. 如图,一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的Ｏ点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度,使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中,Ａ.小球的机械能守恒B ．重力对小球不做功C ．绳的张力对小球不做功 D ．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少点拨:此题属于功能关系的应用。

由于摩擦力做功，机械能不守恒,任一时间内小球克服摩擦力所做的功总是等于小球机械能的减少。

转动过程重力做功,绳的张力总与运动方向垂直，不做功。

此题选C 。

2. 如图是汽车牵引力F 和车速倒数v1的关系图像，若汽车质量为2×１0３kg ，由静止开始沿平直公路行驶,阻力恒定，最大车速为3０m/ｓ,则在车速为15ｍ/s 时汽车发动机功率为_＿__＿＿_＿_＿W ；该汽车作匀加速运动的时间为___＿__＿＿s. 点拨: 由图知。

W V F FV P N F f f43106,102⨯===⨯=当ｖ=15ｍ／s 时，F=4×103Ｎ<6×10４Ｎ,因此仍处在额定功率阶段，匀加速运动末速度s m v /1010610634=⨯⨯=，又v=at,ma F F f =-，F ＝６×103N ，解之得t ＝5s. ３. 据2０08年2月18日北京新闻报导：北京地铁1０号线进行运行试验。

为节约能源,一车站站台建得高些,车辆进站时要上坡将动能转换为重力势能，出站时要下坡将重力势能换为动能,如图所示。

已知坡长为x ,坡高为h ,重力加速度为g ，车辆的质量为ｍ,进站车辆到达坡下A 处时的速度为v ０，此时切断电动机的电源。

（1）车辆在上坡过程中，若只受重力和轨道的支持力，求车辆“冲”到站台上的速度多大?（2）实际上车辆上坡时，还受到其它阻力作用,要使车辆能“冲”上站台,车辆克服其它阻力做的功最大为多少？点拨:（１）车辆上坡过程,机械能守恒，设车辆“冲”坡站台的速度为v ,则有：22021210mv mgh mv +=+（6分),解得：ghv v 220-=(２)车辆上坡过程,受到最大阻力功,冲到站台上的速度应为零，设最大阻力功为W ｆ，由动能定理有：20210)(mv W mgh f -=+-(６分）解得：mgh mv W f -=2021（2分)4．如图所示，在距水平地面高为0.4ｍ处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P 点固定一定滑轮,滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在Ｐ点的右边，杆上套有一质量m=2kg 小球Ａ。

半径R ＝0.３m 的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O 在P 点的正下方，在轨道上套有一质量也为ｍ=２kg 的小球B 。

用一条不可伸长的柔软细绳,通过定滑轮将两小球连接起来。

杆和半圆形轨道OOv1/s ·m F /N 6×1032×103301hA2．以2０m／s的初速度，从地面竖直向上势出一物体，它上升的最大高度是１8m。

如果物体在运动过程中所受阻力的大小不变,则物体在离地面多高处，物体的动能与重力势能相等。

(ｇ＝10m/s2)【错解】以物体为研究对象,画出运动草图3-３,设物体上升到ｈ高处动能与重力势能相等此过程中,重力阻力做功,据动能定量有物体上升的最大高度为H由式①，②，③解得ｈ＝9.5m【错解原因】初看似乎任何问题都没有,仔细审题，问物全体离地面多高处,物体动能与重力势相等一般人首先是将问题变形为上升过程中什么位置动能与重力势能相等。

而实际下落过程也有一处动能与重力势能相等。

【分析解答】上升过程中的解同错解。

设物体下落过程中经过距地面h′处动能等于重力势能，运动草图如3-4。

据动能定理解得h′=8.5m４. 如图3-13，质量分别为m和2m的两个小球A和Ｂ,中间用轻质杆相连,在杆的中点Ｏ处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放,在B球顺时针摆动到最低位置的过程中( )A.B球的重力势能减少，动能增加，B球和地球组成的系统机械能守恒B.A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒。

Ｃ．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒 D．A球、B球和地球组成的系统机械不守恒【错解】B球下摆过程中受重力、杆的拉力作用。