名师精编优秀教案
龙文教育个性化辅导授课
教师：学生：时间：__2012_年__月日
内容二次函数
教学目的
1、理解二次函数及抛物线的有关概念
2、会根据图像上三点坐标或由图像的顶点坐标及另外一点的坐标确定二次函数解析式，会观察
图像，确定 a,b,c，的符号，能从图像上认识二次函数的性质
3、会求二次函数图像的顶点坐标、对称轴方程及其与x 轴的交点坐标，会借助平移理论知识来研究二次函数的最值问题
4、会构建二次函数模型解决以二次函数为基础的综合型题
重难点
二次函数图象及其性质，能把相关应用问题转化为数学问题，灵活运用二次函数分析和解决简单的
实际问题
教学过程
①一般地，如果 y=ax2+bx+c（ a， b， c 是常数且 a≠0），那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．
②当 b=c=0 时，二次函数 y=ax2是最简单的二次函数．
③二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：
一般式： y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；
顶点式： y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；
交点式： y=a（ x－ x1）（ x－ x2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标 x1，x2才能求出此解析式；
2
b
，4ac b2 2
对于 y=ax +bx+c 而言，其顶点坐标为（－2a 4a ）．对于 y=a（ x－ h） +k 而言其顶点坐标为（ h，k）
由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
2
b
，最值为4ac b 2
④二次函数 y=ax +bx+c 的对称轴为 x=－2a 4a ，（ k>0 时为最小值， k<0 时为最大值）．由此可知 y=ax2的顶点在坐标原点上，且y 轴为对称轴即 x=0．
⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置:
将 y=ax2沿着 y 轴（上“＋”，下“－”）平移 k（ k>0）个单位得到函数 y=ax2±k
将 y=ax2沿着 x 轴（右“－”，左“＋”）平移 h（ h>0）个单位得到 y（x±h）2．
在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y 轴平移则直接在解析式的常数项后
进行加减（上加下减），若沿 x 轴平移则直接在含x 的括号内进行加减（右减左加）．
⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点．
⑦抛物线 y=ax2+bx+c 的图像位置及性质与a，b，c 的作用：
a 的正负决定了开口方向 :
当 a>0 时，开口向上，在对称轴 x=－b
的左侧， y 随 x 的增大而减小；在对称轴x=－
b
的右2a 2a
侧， y 随 x 的增大而增大，此时y 有最小值为 y= 4ac
b2 ，顶点（－
b
，
4ac
b2 ）为最低点；
4a 2a 4a
当 a<0 时，开口向下，在对称轴 x=－b
的左侧， y 随 x 的增大而增大，在对称轴x=－
b
的右2a 2a
侧， y 随 x 的增大而增大，此时y 有最大值为 y= 4ac
b2 ，顶点（－，
4ac
b2 ）为最高点．4a 4a
a│的大小决定了开口的宽窄，│ a│越大，开口越小，图像两边越靠近y 轴，│ a│越小，开口越大， ?图像两边越靠近x轴
a，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0 时，对称轴 x=0，即对称轴为 y 轴，当 a，b 同
号时，对称轴 x=－b
<0，即对称轴在 y 轴左侧，垂直于 x 轴负半轴，当 a， b 异号时，对称轴x= 2a
－b
>0，即对称轴在 y 轴右侧，垂直于 x 轴正半轴；
2a
c 的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置， c=0 时，抛物线经过原点， c>0 时，与 y 轴交于正半
轴； c<0 时，与 y?轴交于负半轴，以上a，b，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
经典例题：
例 1、要修建一个圆形喷水池 ,在池中心竖直安装一根水管 .在水管的顶端安装一个喷水头 ,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高 ,高度为 3m,水柱落地处离池中心 3m,水管应多长 ?
例 2、（ 2011 浙江温州， 9，4 分）已知二次函数的图象 (0 ≤x≤3) 如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，
下列说法正确的是 ( )
A ．有最小值 0，有最大值 3 B．有最小值－1，有最大值0
C ．有最小值－ 1，有最大值 3 D．有最小值－1，无最大值
例 3、（2011 四川重庆， 7，4 分）已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c( a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．a>0 B． b＜0 C． c＜0 D． a＋b＋ c>0
例 4、2011 台湾全区， 28）图 ( 十二 ) 为坐标平面上二次函数y ax2 bx c 的图形，且此图形通过（－1, 1）、（2, －1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？
A ．y的最大值小于 0
B ．当 x＝0时， y 的值大于 1
C．当x＝ 1 时，y的值大于 1 D ．当 x＝3时， y 的值小于0
例 5、（ 2011 甘肃兰州，9，4 分）如图所示的二次函数y ax2 bx c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条
信息：（ 1）b 2 4ac 0 2 >1 3 2 <0 4 ++<0 的有
；（） c ；（）a－ b ；（）a b c 。

你认为其中错误y
A．2 个B．3 个C．4 个D．1 个
1
-1 O1x
例 6、（ 2011 山东济宁， 8，3 分）已知二次函数y ax2bx c 中，其函数y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示：
x 0 1 2 3 4
y 4 1 0 1 4
点（y1 B x2 y2 1 x1 2, 3 x2 4 y1 y2
A ，，）在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是
）、（
A．y y
2 B．y y
2
C ． y y
2
D ． y y
2
1 1 1 1
例 7、（ 2011 四川凉山州，12， 4 分）二次函数y ax2 bx c 的图像如图所示，反比列函数y
a
与正比列函
x
数 y bx 在同一坐标系内的大致图像是（）
y y y y y
O x
Ox O x O x O x
第12题
A B C D
例 8、（ 2011 安徽芜湖， 10,4 分）二次函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，则反比例函数y a
与一次函数x
y bx c 在同一坐标系中的大致图象是（） .
x 2
1 例 9、（2011 湖北黄冈， 15，3 分）已知函数y 2
x 5 值为（）
A．0 B． 1 C．2 D． 3 1 x≤3
，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则k 的1 x＞3
例 10、（ 2011 湖北襄阳， 12， 3 分）已知函数y (k 3)x 22x 1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是
A. k4
B. k4
C. k 4 且 k 3
D. k 4 且 k 3
例 11、 (20011 江苏镇江 ,8,2 分 ) 已知二次函数y x2 x 1 , 当自变量 x 取 m时 , 对应的函数值大于0, 当自变
5
量 x 分别取 m-1,m+1 时对应的函数值y1、 y2,则必值 y1, y2 满足()
A. y1>0, y2>0
B. y1<0, y2<0
C. y1 <0, y2 >0
D. y1>0, y2<0
例 12 、（ 2011 重庆江津，18 ，4 分）将抛物线 y=x2－ 2x 向上平移 3 个单位 , 再向右平移 4 个单位等到的抛物线是_______.
例 13 、 (2011 江苏南京，24， 7 分) （ 7 分）已知函数y=mx2－ 6x ＋1（ m是常数）．
⑴求证：不论 m为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求m的值．
例 14、（ 2011 广东省， 15， 6 分）已知抛物线y 1 x2x c与x轴有交点．
2
(1)求 c 的取值范围；
(2)试确定直线 y＝ cx+l经过的象限，并说明理由．
1 2 3
例 15、 2011 江苏盐城， 23， 10 分）已知二次函数 y = - 2 x - x +2.
（ 1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（ 2）根据图象，写出当y ＜ 0 时，x的取值范围；
（ 3）若将此图象沿x 轴向右平移 3 个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
二次函数图象性质总结
学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字： ________ 教学总结：
主任审核批复
教导主任签字：________
龙文教育教务处制作业：。