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10.7.2 旋度的定义及其物理意义
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实际上，我们常常碰到的曲面是双侧曲面，但单侧 曲面也存在，最有名的单侧曲面是拓扑学中的莫比乌斯 带，如图10.28所示.它的产生是将长方形纸条ABCD 先 扭转一次，然后使B与D，及A与C粘合起来构成的一个 非闭的环带.若想象一只蚂蚁从环带上一侧的某一点出发， 蚂蚁可以不用跨越环带的边界而到达环带的另一侧，然 后再回到起点；或者用一种颜色涂这个环带，不用越过 边界，可以涂满环带的两侧.显然这是双侧曲面不可能出 现的现象
第10章 曲线积分与曲面积分
解决许多几何、物理以及其他实际问题时，不仅需 要用到重积分，而且还需要将积分区域推广到一段曲线 弧或一片曲面上，这样推广后的积分称为曲线积分和曲 面积分.本章还将介绍格林公式、高斯公式及斯托克斯公 式，这三个公式刻画了不同类型的积分之间的内在联系， 并且在微积分、场论及其他学科中有着广泛的应用。
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10.4 第一型曲面积分
通过讨论非均匀密度的空间曲面壳质量这一物理问 题，本节引入第一型曲面积分的概念并研究了相关性质。 10.4.1 实例 质量分布在可求面积的曲面壳上，曲面壳占有空间 曲面Σ，其密度函数为ρ（x，y，z），求曲面壳的质量.
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10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 设向量值函数F（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x， y，z）j+R（x，y，z）k在有向曲线Γ上有定义且连续， 有向曲线弧Γ为简单曲线，它的参数方程为
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10.3.1 格林①公式（Green公式） 设平面封闭区域 为其边界曲线， 的正向 定义如下：当观察者沿边界曲线 行走，区域 总在 的左边，那么人走的方向就是 的正向； 的负 向记为 ，如图10.14所示.
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10.6 高斯公式
格林公式给出了平面区域上的二重积分与围成该区 域的闭曲线上的曲线积分之间的联系.高斯公式是格林公 式在三维空间的推广，它给出了三维空间体上的三重积 分与围成该体边界的闭曲面上的曲面积分之间的联系。 10.6.1 高斯①公式（Gauss公式） 10.6.2 散度的定义及其物理意义 10.6.3 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
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10.5.2 实例：流体流向曲面一侧的流量 10.5.3 第二型曲面积分（也称为向量值函数在有向 曲面上的积分）的定义及性质 （1）第二型曲面积分的定义 定义1 （2）第二型曲面积分的性质 1）线性性质 2）积分区域的可加性 3）方向性
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10.5.4 第二型曲面积分的计算法 （1）分面投影法 （2）合一投影法
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10.7 斯托克斯公式
高斯公式是格林公式在三维空间的推广，而格林公 式还可以从另一方面推广，就是将曲面Σ上的曲面积分 与沿该曲面Σ的边界的闭曲线Σ的曲线积分联系起来。 10.7.1 斯托克斯公式 如图10.39所示，设有光滑曲面块Σ，其边界是空间 闭曲线 .取定Σ的一侧为正侧，规定闭曲线 的正向 按右手法则，即当右手除拇指外的四指依 的正向绕 行时，大拇指所指方向刚好是Σ的侧的方向.根据右手法 则，由曲面Σ的正侧（或法线的正向）就决定了闭曲线 的正向，反之亦然.
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10.1 第一型曲线积分
第一型曲线积分的定义和前面的重积分定义类似， 都是按照分割、近似、作和与求极限步骤定义的.下面首 先来看曲线形构件的质量。 10.1.1 实例 （1）曲线形构件的质量 在生活中我们常常遇到曲线形的构件，为了合理使 用材料，在设计曲线形构件时，工程师往往根据构件各 部分受力情况的不同来设计构件各部分的疏密程度，所 以构件单位长度的质量，即构件的线密度是变量。
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10.3 格林公式
上册的定积分基本公式 指出， 函数f′（x）在区间的［a，b］的定积分等于被积函数f′ （x）的原函数f（x）在区间端点（或边界上）上的值的 差.本节的格林公式说明，在平面闭区域D上的二重积分 可以由沿着闭区域 D 的边界曲线的第二型曲线积分来表 示.从这个意义上说，格林公式是定积分基本公式在二维 空间的推广。
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10.5 第二型曲面积分
由穿过有向曲面的流量这一物理背景，本节给出了 第二型曲面积分的定义，并研究了第二型曲面积分的计 算方法。 10.5.1 基本概念 如图10.27所示，在光滑曲面Σ上任取一点M0，过点 M0的法线有两个方向，选定一个方向为正向.当点M0在 曲面Σ上连续变动（不越过曲面的边界）时，法线也连 续变动.当动点M从点M0出发沿着曲面Σ上任意一条闭曲 线又回到点M0时，如果法线的正向与出发时的法线正向 相同，称曲面Σ是双侧的，否则称曲面Σ是单侧的.
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设曲线形构件所占位置在空间一条以 A，B为端点 的光滑曲线 Γ 上，它的密度函数为 ρ（x，y，z），求该 构件的质量.
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（2）空间柱面的表面积
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10.1.2 第一型曲线积分的定义及性质
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10.2 第二型曲线积分
当涉及向量场中的一些非均匀量的求和时，如计算 沿一曲线路径移动一物体克服变阻力所做的功或求一温 度场中沿场内一边界曲线热量的流失程度，将用到本节 所讨论的第二型曲线积分.该类积分还可用于计算流体沿 着闭曲线的环流量。 10.2.1 实例：变力沿曲线所做的功 我们知道，若质点在常力F（大小与方向都不变） 的作用下从点A沿直线移动到点B，如图10.8所示，则常 力F所做的功W 是F与位移 的内积，即