§ 17.2分式的运算一、分式的乘除法 1、法则:（1） 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为积的分母。

（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母 与分母相乘）。

a ?c ac用式子表示：F?d bd（2） 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，再与被除式相乘。

a?d 翌b c bc（1）分式中的符号法则与有理数乘除法 中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数, 奇负偶正” ；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便 约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把 将分子、分母分别乘方，然后再相除。

nna a用式子表示：b 『（其中n 为正整数，a z 0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一 个算用式子表示:2、应用法则时要注意:式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减用式子表示:2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，a c ad be ad be再加减。

用式子表示：b d bd bd bd 。

2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1,然后进行通分。

（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。

遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换 律、结合律和分配律；(3)分式运算结果必须化到最简，能约分的要 约分，保证运算结果是最简分式或整式。

x 1 x2 2x1、先约分后通分技巧 例计算x 2 3x 2 + x 2 4分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算x 1 X (X 2) 1 x X 1解：原式=(x 1)(x 2) + (x 2)(x 2) =C2 +T~2 =T~22x 23x 32、分离整数技巧例计算x 2 3x 2分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

=(x 1)(x 2) - (x 2)(x 3)-x 3 (x 1) (x 2)例计算：2(1)—a 4a 22 a 22 x 1x 4(3)1x x 2 x 2x2(2)丄 x 2 ；x 2x 2 5x _2 x1 __5x 6 - x 2 4x 3(x 23x 2) 1 解：原式=—x^3x 2(x 2 5x 6) 1 x 2 5x 61 x2 4x 31=1+ x 2 3x 21-1- x 25x 6 - 1 x 2 4x 3(x 1)(x 3) 【分类解析】一、分式运算的几种技巧1 12 113 11解：原式=( x - x 1 ) + 2 (x 1 --x 3 ) + 3 ( x 3 - x 6 ) 1 16=x - x 6=x(x 6)练习:1 2 24、分组计算技巧例计算 a 2 + a 1 - a 1 -分析：通过观察发现原〔式中第一、四项分母乘积为采取分组计算简捷。

11 2 2解：原式=(a 2 - a 2)+( a 1 - a 1)4 4121T~2a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1 ,练习:=a2 4 +a2 1 = (a24)(a21)2=k2x ~~2 a1）字母代入法1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替:a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简ab c da da b c b c dadaa 1a 2 a 3 a a 3 a a 1 a 2 a 1a 2 a 3 a a 3aa 1 a 2 a 3=2a 33a 3 3a 6 2a 3a a3a 1 a 22a 3 3(a 1) 3(a 2)=1 1 1 3 3=5 =3【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时, 字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示, 到正确结果就在于自己的分式化简能力了。

2）设值代入法x yz xy yz zx x 2例2.已知，求证：2a b cabbc caab c【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到y x ，z x ，代入后分式的分子a a分母中有分式，化简麻烦。

我们用一种新的代入方式，考虑到 -、丿、-连等，让它们都a b c等于 k 贝U x=ak y=bk z=ck,xy yz zx akbk bkck ckak代入得=一ab bc ca ab bc caab bc ca ’ 2 = k ab bc ca的值.第一个要想到的方法就是 所以用这种方法能不能得【探讨】当遇到连等式乙可以米用以下三种方式来运用这个条件5 X y z设_ —a b cb c则(1) y x, z Xa aX y z(2) 设—J—k 则x=ak y=bk z=cka b cX y z,x y z —,(3) 设J k则k 其中a b c 0a b c a b c3) 整式代入法1 1 2a 3ab 2b 砧/古例3.已知：3，求分式的值•a b a ab b【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。

将条件化简成乘积形式，得「3，再将分式稍化简变为2(a b) 3ab，可以发现分ab (a b) ab子分母中只有(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-ab a 3ab2a 3ab 2b 2( a b) 3ab 6ab 3ab 3a ab b (a b) ab 3ab ab 4【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b与ab的关系，题目很快就解出来了。

4) 变形代入法这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。

ab bc ca 例4 (方程变形).已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc^ 0，求的值.b2【解析】对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。

这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组{ a+b+c=0==> 厂用c代替a、b代入到分式中，能很快求解出来2 2 2ab bc ca 2c 2c c 32 = 2 —b 4c 4例5 (非负变形).已知：2 22 , 22a ab 6b 丹a 2b 2 8a 6b 250，求—2 的值•a 4ab 4b【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式2 2 2 2a b 8a 6b 25 (a 4) (b 3) 0其中(a 4)2 0(b3)20 所以(a4)2=0(b 3)2=0得 a 4,b再带入原式很容易求出解。

【解析】这题可以用整式代入法，比如用 -b-c 代替a ,但是代数式a 的符号和位置在三个分式中不同，如果用 a 2 (b c)2代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。

如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：1 x y 1 1的形式，使得x 、y 相互独立，简化已知条件。

a xy x y1 1 1 1 1 1 1 1 1 写出变化后的形式丄丄丄，丄丄丄，丄丄丄a xyb x zcy z111 111 12 ---(--)(--)- c y zx y xz x_- - 2 a b x例6(对应变形).证明:1若 a+b+c=O,贝 H 2-- 2 --- 2 b c a1~2 T1cab1 0 ~7~2 2. a b c用a=-b-c 代入b 2c 2 a 2中的 a , 得到-2bc用b=-a-c 代入2b 中的得到-2ac用c=-a-b 代入b 2c 2中的 c , 得到-2ab1原式2bc2ac例7 (倒数变形).12aba 2abc已知旦x y xza,- xyz b, y zc,且 abc 0.求证x2abc bc acab【解析】已知条件是的形式, x y不能化简, 如果颠倒分子分母，将a 改写成x y24be ac ababc 2abc则x，得证。

bc ac ab例8 (归类变形)1已知ab 1 1c ，且a 、b 、c 互不相等，求证：2 2 2abc 1b c a【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a 表示b 、c ,能不能求出b 、c 的代数式都是问题。

因此我们变形不要太过着急， 如果从消元化简的方式不能变形， 就考虑从结构化 简的方式来变形。

这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类：1 1 b ca b -- 巳上，可以发现分式形式大致消失了，c b bc剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc将能从已知条件得到的关系列出来, be, c a a b a b , b c , c a bcac ab 左边和左边相乘，右边和右边相乘得(ab)(b c)(ca)(b c)(c a)(ab)(a b)(b c)(c a)o --abc所以 a -b 1 2c 21【结论】给已知条件变形是用代入法的前提， 变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知 条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，比如习题4，代数式并不是最简形式,可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。

【练习】1 B.-21、已知22 2£ 则 2a3bc b 4 a 2 2abc 2的值等于((设值代入)19D.C.2、若 a 2+b 2=3ab,则(1+严a b上匚)的值等于(a b)(整式代入)B. 0C.12D.-所以-x消元的角度：方程变形、非负变形结构的角度：对应、倒数、归类变形减少字母数量，方便化简---调整关系式结构，方便化简已知：13a+b+c=0,abc=8.求证：—a 4、已知：a+b+c=0.求证1 111a -b -b c a c5、已知abc=1，求证：aab a11 1V 0. （非负变形）b cc - - 3 0. （代数式归类变形）a bb c-1 （对应变形）be b 1 ac c 1。