22
2 3
2 3
已知三棱锥P-ABC中，PA=1， AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积．
P A
解法二
C
D
等体积法
B
解法二：等体积法
P
C
A
D
B
在△PAB中： ∵ PA=1，AB=2，
∠PAB=60° ∴ AP⊥BP 同理： AP⊥CP ∴ AP⊥平面BPC
∴ PBPC 3, BC 2
柱、锥、台的体积
等面积法： 等底等高的三角形面积相等
h
h
a
a
1 S 2 a h
h
a
思考：如何解决柱体的体积问题？
柱体的体积
长方体的体积
柱体体积
h
a
h
aa
ab
长方体体积：V abh
正方体体积：V a 3 a2 a
圆柱的体积：V r2h
V Sh
底 面
高
积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及 圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
F
A
O
C
∴ A E 1 , A O 3
2
3
E
B
∴ PO PA2AO2 2
3
过P作PO⊥平面ABC于点O, 过O作OE⊥AB于点E,
∴
V PABC
1 3
S△ ABC
PO
过O作OF⊥AC于点F, 由∠PAB= ∠PAC易证得：
1 1 2 2 3 2
32
23
△PEA≌ △PFA ∴ PE=PF
2、已知长方体相邻三个面的面积分别为 2,3,6,则此长方体的对角线和体积分别 为________。
3、长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥 C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余 部分的体积之比.
4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线 长为5,则这个圆锥的体积为_________。
33
s s'
1S h1( s s')hs' 1h(s ss' s')
33
3
x
S
h
S
x
S h
S S
VV大 锥V小 锥
=1Sxh1Sx
3
3
=1Sh1SSx
33
Q1 3
Shxx13
h
S
2
S
SS
S
S h S
1S 3
hxx13h
S
S
SS
S h
x1h S S hS S S 3 S S
棱台(圆台)的体积公式:
C
割补法
B
解法三：割补法
P
∵ E、F分别为AB、AC 的中点
C F A E
B
分别取AB、AC的中点E、F 连接EF、PE、PF， 由条件得P-AEF为正四面体 其棱长为1，其体积为 2
12
∴ S四 边 形 EFO B3S△ AEF
∴
VPEFOB 3VP-AEF
2 4
∴ VP ABC VP AEF VPEFOB
如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 AA1＝8.若AA1B1B水平放置时，液面恰好过 AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC 水平放置时，液面的高为________．
在△ABC中，AB=2，AC=1.5， ∠BAC=1200.若将△ABC绕直线AC旋 转一周，求形成的旋转体的体积．
O
10 3
3(400200100)
O1
A1C
70003 (cm3) 3
O
A
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点，
如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求 这两部分的体积比。
E
B
A V1 V2
C
D
设△ABE的面积为S
1 V13h(S S4S4S)
7 Sh 3
V2
4Sh7Sh5Sh 33
V1:V27:5
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0V1(S
3
SSS)h SS
V
1 Sh 3
S为底面面积， S’,S分别为上、下底
S为底面面积，
h为锥体高
面面积，h 为台体高 h为柱体高
练习
1、已知三棱锥S-ABC的底面是直角边 分别为a, b的直角三角形，高为c， 则它的体积为________。
V1(S SSS)h 3
其中 S， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
例.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的 侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台 的体积是多少？ (结果中保留π)
S20 2400
S'10 2100
h 3(20 1)0103
1
V台
1
体 3h(S
S'SS')
2 2 12 4
2 3
已知三棱锥P-ABC中，PA=1， AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积．
D
PP AA
解法四
CC
割补法
BB
解法四：割补法
P A
D C B
延长AP到D，使PD=AP
连接DB、DC， 由条件得D-ABC为正四面体 由例1结论可知：
VDABC
5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2 和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长 为2cm，这个棱台的体积为________。
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为
1 的 正 方 形 ， 且 ADE、BCF 均 为 正 三 角 形 ，
EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ）
V锥体 3 Sh
V圆
锥
1 3
r2h
等底同高的锥体的体积
有何关系?
锥体的体积
h’
h
S’
S’
s
s
求棱长为 2a 的正四面体的体积
A
BO 2
3
2a
6 a
32
3
B
O
D AO
2a 2
6 3
a
2
C
2 3a
3
V1 32a22 3a a 3
34
33
求棱长为 2a 的正四面体的体积 VV正 方体 4V三 棱 锥 a3411aaa 32
已知三棱锥P-ABC中，PA=1， AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积．
P
C A
B
已知三棱锥P-ABC中，PA=1， AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积．
P
F
A
O
E
解法一
C
直接法
B
解法一：直接法
P
∴ △POE≌ △POF ∴ OE=OF ∴ 点O在∠BAC的平分线上
a3 3
割补法
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1h(s+ 3
ss' +s')
x
s/
s/
h
s
s
台体
x s' xh s
S'
x
x h s' s s'
S
h
V台1 3S（ hx)1 3S'x1 3Sh1 3Sx1 3S'x
1Sh1(SS')x1Sh1(SS') h s'
33
取BC的中点D，连PD
则 PD⊥BC
∴ P D P B 2B D 22
∴ V PABC V APBC
1 3
S △ PBC
AP
1 1 2 2 1 32
2 3
已知三棱锥P-ABC中，PA=1， AB=AC=2，∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积．
P
F A
E
解法三
（A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 3
3
3
3
2
G
已知四面体A-BCD中，AB垂直于面BCD，
∠BCD＝∠ACD＝90º，BC＝4，AB＝CD
＝3，求点B到面ACD的距离。
等体积法 VBAC DVABCD
A
11
11
3
3235hB32343
hB
B
D
4
3
C
一倒放的圆锥形封闭容器，高为2h,装入水， 使水高为圆锥高的二分之一，则倒转容器 后，水的高度是多少？
V Sh
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：
V Sh
（其中S为底面面积，h为柱体的高）
柱体的体积
V柱体Sh
V圆柱r2h
h
ss
Ss
sS
等底等高的柱体体积相等
VA1AB CVCA1ABVCA1B1B V V V CA 1B1B A 1B1B C A1CC1B
AA11
C1
BB11
A
CC
B
3V锥体V柱体
1
已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为
补形法
一个空间几何体的三视图如图，则该几何 体的体积为 ( )
A．2 3 C.4 3 3
B．2 5
D.5
3 3
一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去 部分后所得几何体的三视图如图所示，则 该几何体的体积为 ( )
如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，矩 形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂 直，且AB＝2，AD＝EF＝1.