一、法拉第电磁感应定律1.如图所示,在倾角30o θ=的光滑斜面上,存在着两个磁感应强度大小相等、方向分别垂直斜面向上和垂直斜面向下的匀强磁场,两磁场宽度均为L 。
一质量为m 、边长为L 的正方形线框距磁场上边界L 处由静止沿斜面下滑,ab 边刚进入上侧磁场时,线框恰好做匀速直线运动。
ab 边进入下侧磁场运动一段时间后也做匀速度直线运动。
重力加速度为g 。
求:(1)线框ab 边刚越过两磁场的分界线ff′时受到的安培力; (2)线框穿过上侧磁场的过程中产生的热量Q 和所用的时间t 。
【答案】(1)安培力大小2mg ,方向沿斜面向上(2)4732mgL Q = 72Lt g= 【解析】 【详解】(1)线框开始时沿斜面做匀加速运动,根据机械能守恒有21sin 302mgL mv ︒=, 则线框进入磁场时的速度2sin30v g L gL =︒=线框ab 边进入磁场时产生的电动势E =BLv 线框中电流E I R=ab 边受到的安培力22B L vF BIL R== 线框匀速进入磁场,则有22sin 30B L vmg R︒= ab 边刚越过ff '时,cd 也同时越过了ee ',则线框上产生的电动势E '=2BLv线框所受的安培力变为22422B L vF BI L mg R==''=方向沿斜面向上(2)设线框再次做匀速运动时速度为v ',则224sin 30B L v mg R︒='解得4v v ='=根据能量守恒定律有2211sin 30222mg L mv mv Q ︒'⨯+=+解得4732mgLQ =线框ab 边在上侧磁扬中运动的过程所用的时间1L t v=设线框ab 通过ff '后开始做匀速时到gg '的距离为0x ,由动量定理可知:22sin 302mg t BLIt mv mv ︒-='-其中()022BL L x I t R-=联立以上两式解得()02432L x v t vg-=-线框ab 在下侧磁场匀速运动的过程中,有0034x x t v v='=所以线框穿过上侧磁场所用的总时间为123t t t t =++=2.如图()a ,平行长直导轨MN 、PQ 水平放置,两导轨间距0.5L m =,导轨左端MP 间接有一阻值为0.2R =Ω的定值电阻,导体棒ab 质量0.1m kg =,与导轨间的动摩擦因数0.1μ=,导体棒垂直于导轨放在距离左端 1.0d m =处,导轨和导体棒电阻均忽略不计.整个装置处在范围足够大的匀强磁场中,0t =时刻,磁场方向竖直向下,此后,磁感应强度B 随时间t 的变化如图()b 所示,不计感应电流磁场的影响.当3t s =时,突然使ab 棒获得向右的速度08/v m s =,同时在棒上施加一方向水平、大小可变化的外力F ,保持ab 棒具有大小为恒为24/a m s =、方向向左的加速度,取210/g m s =.()1求0t =时棒所受到的安培力0F ;()2分析前3s 时间内导体棒的运动情况并求前3s 内棒所受的摩擦力f 随时间t 变化的关系式;()3从0t =时刻开始,当通过电阻R 的电量 2.25q C =时,ab 棒正在向右运动,此时撤去外力F ,此后ab 棒又运动了2 6.05s m =后静止.求撤去外力F 后电阻R 上产生的热量Q .【答案】(1)0 0.025F N =,方向水平向右(2) ()0.01252?f t N =-(3) 0.195J【解析】 【详解】 解:()1由图b 知:0.20.1T /s 2B t V V == 0t =时棒的速度为零,故回路中只有感生感应势为:0.05V B E Ld t tΦ===V V V V感应电流为:0.25A EI R==可得0t =时棒所受到的安培力:000.025N F B IL ==,方向水平向右;()2ab 棒与轨道间的最大摩擦力为:00.10.025N m f mg N F μ==>=故前3s 内导体棒静止不动,由平衡条件得: f BIL = 由图知在03s -内,磁感应强度为:00.20.1B B kt t =-=- 联立解得: ()0.01252(3s)f t N t =-<;()3前3s 内通过电阻R 的电量为:10.253C 0.75C q I t V =⨯=⨯=设3s 后到撤去外力F 时又运动了1s ,则有:11BLs q q I t R RΦ-===V V &解得:16m s =此时ab 棒的速度设为1v ,则有:221012v v as -=解得:14m /s v =此后到停止,由能量守恒定律得: 可得:21210.195J 2Q mv mgs μ=-=3.如图甲所示,两根足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨相距为L 1=1m,导轨平面与水平面成θ=30°角,上端连接阻值R =1.5Ω的电阻,质量为m =0.2Kg 、阻值r=0.5Ω的金属棒放在两导轨上,距离导轨最上端为L 2=4m,棒与导轨垂直并保持良好接触.整个装置处于一匀强磁场中,该匀强磁场方向与导轨平面垂直,磁感应强度大小随时间变化的情况如图乙所示.为保持ab 棒静止,在棒上施加了一平行于导轨平面的外力F ,g =10m/s 2求:(1)当t =1s 时,棒受到安培力F 安的大小和方向; (2)当t =1s 时,棒受到外力F 的大小和方向;(3)4s 后,撤去外力F ,金属棒将由静止开始下滑,这时用电压传感器将R 两端的电压即时采集并输入计算机,在显示器显示的电压达到某一恒定值后,记下该时刻棒的位置,测出该位置与棒初始位置相距2m,求棒下滑该距离过程中通过金属棒横截面的电荷量q. 【答案】(1)0.5N ;方向沿斜面向上(2)0.5N ,方向沿斜面向上(3)1.5C 【解析】 【分析】 【详解】(1)0-3s 内,由法拉第电磁感应定律得:122V BE L L t t∆Φ∆===∆∆ T =1s 时,F 安=BIL 1=0.5N 方向沿斜面向上(2)对ab 棒受力分析,设F 沿斜面向下,由平衡条件: F +mg sin30° -F 安=0 F =-0.5N外力F 大小为0.5N .方向沿斜面向上 (3)q =It ,EI R r =+;E t∆Φ=∆; 1∆Φ=BL S 联立解得1 1.512C 1.5C 1.50.5BL S q R r ⨯⨯===++4.如图所示,两彼此平行的金属导轨MN 、PQ 水平放置,左端与一光滑绝缘的曲面相切,右端接一水平放置的光滑“>”形金属框架NDQ ,∠NDQ=1200,ND 与DQ 的长度均为L ,MP 右侧空间存在磁感应强度大小为B 、方向竖直向上的匀强磁场.导轨MN 、PQ 电阻不计,金属棒与金属框架NDQ 单位长度的电阻值为r ,金属棒质量为m ,长度与MN 、PQ 之间的间距相同,与导轨MN 、PQ 的动摩擦因数为.现让金属棒从曲面上离水平面高h 的位置由静止释放,金属棒恰好能运动到NQ 边界处.(1)刚进入磁场时回路的电流强度i 0;(2)棒从MP 运动到NQ 所用的时间为t ,求导轨MN 、PQ 的长度s ;(3)棒到达NQ 后,施加一外力使棒以恒定的加速度a 继续向右运动,求此后回路中电功率的最大值p max .【答案】06(23)B ghi r =+;023(2)m gh umgt rS ++=();22max 4(23)P r =+ 【解析】 【详解】解:(1)金属棒从光滑绝缘曲面向下运动,机械能守恒,设刚进入MP 边界时,速度大小为0v ,则:2012mgh mv =解得:0v 2gh =刚进入磁场时产生的感应电动势:10e Bdv = 导轨宽度:3d L =回路电阻:(23)R Lr =+ 联立可得:06(23)B gh i r=+(2)设长度为S ,从MP 到NQ 过程中的任一时刻,速度为i v ,在此后无穷小的t ∆时间内,根据动量定理:22()ii B d v umg t m v R∑+∆=∑∆22(3(23)i i L t umg t m v Lr+∑∆=∑∆+2(23)i i v t umg t m v r∆+∑∆=∑∆+200(23)umgt mv r+=+得:023(2)m gh umgt rS ++=() (3)金属棒匀加速运动,v at =切割磁感线的有效长度为:021'2cos60)tan 602l L at =⋅-︒( 产生感应电动势:E Bl v '=2212(cos60)tan 603()2E B L at at Ba L at t =⋅︒-︒⋅=-回路的瞬时电阻:2022121[2(cos60)tan 60(cos60)(23)()2cos602R r L at L at r L at =︒-+︒-=+- 功率:2222222222242222()[()]24(23)()(23)(23)E L L P at Lt a t R a a r L at r r===-+=--++-++ 金属棒运动到D 点,所需的时间设为t ',则有: 21122L at '= 解得:Lt a'=当2Lt t a'=<时, 22max 4(23)P r =+5.如图(a)所示,间距为l 、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上.在区域Ⅰ内有方向垂直于斜面的匀强磁场,磁感应强度为B ;在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场,其磁感应强度B t 的大小随时间t 变化的规律如图(b)所示.t =0时刻在轨道上端的金属细棒ab 从如图位置由静止开始沿导轨下滑,同时下端的另一金属细棒cd 在位于区域I 内的导轨上由静止释放.在ab 棒运动到区域Ⅱ的下边界EF 处之前,cd 棒始终静止不动,两棒均与导轨接触良好.已知cd 棒的质量为m 、电阻为R ,ab 棒的质量、阻值均未知,区域Ⅱ沿斜面的长度为2l ,在t =t x 时刻(t x 未知)ab 棒恰进入区域Ⅱ,重力加速度为g.求:图(a) 图(b)(1)通过cd 棒电流的方向和区域Ⅰ内磁场的方向; (2)当ab 棒在区域Ⅱ内运动时,cd 棒消耗的电功率; (3)ab 棒开始下滑的位置离EF 的距离;(4)ab 棒开始下滑至EF 的过程中回路中产生的热量.【答案】(1)电流方向由d到c,区域Ⅰ内的磁场方向为垂直于斜面向上;(2)(3) (4)【解析】【详解】(1)由右手定则可知通过cd棒电流的方向为d到c;再由左手定则可判断区域Ⅰ内磁场垂直于斜面向上.(2)cd棒平衡,BIl=mg sin θ,得cd棒消耗的电功率P=I2R,得(3)ab棒在到达区域Ⅱ前做匀加速直线运动,cd棒始终静止不动,ab棒在到达区域Ⅱ前、后,回路中产生的感应电动势不变,则ab棒在区域Ⅱ中一定做匀速直线运动,可得,所以.ab棒在区域Ⅱ中做匀速直线运动的速度则ab棒开始下滑的位置离EF的距离(4)ab棒在区域Ⅱ中运动的时间ab棒从开始下滑至EF的总时间:ab棒从开始下滑至EF的过程中闭合回路中产生的热量:故本题答案是:(1)电流方向由d到c,区域Ⅰ内的磁场方向为垂直于斜面向上;(2) (3)(4)【点睛】题目中cd棒一直处于静止状态,说明cd棒受到的安培力是恒力并且大小应该和导体棒的重力分量相等,要结合并把握这个条件解题即可。