2020年全国3卷-理
科数学
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ)
理科数学试卷
试卷编辑:石廷有
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合∈=y x y x A ,|),{(*,N }8|),{(},=+=≥y x y x B x y ,则B A 的元素个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2.复数i 311
-的虚部是( )
A. 103-
B. 101-
C. 101
D. 10
3
3.在一组样本数据中,4,3,2,1出现的频率分别为4321,,,p p p p ,且14
1=∑=i i p ,则下面四种情形中,对
应的标准差最大的一组是( )
A. 4.0,1.03241====p p p p
B. 1.0,4.03241====p p p p
C. 3.0,2.03241====p p p p
D. 2.0,3.03241====p p p p
4.Logistic 模型是常用的数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎
累计确诊病例数t t I )((的单位:天)的Logistic 模型:)
53(23.01)(--+=
t e
K t I ,其中K 为最大确诊病例
数.当K t I 95.0)(*=时,标志着已经初步遏制疫情,则*t 约为(319ln ≈)( ) A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
5.设O 为坐标原点,直线2=x 与抛物线)0(2:2>=p px y C 交于E D ,两点,若OE OD ⊥,则C 的焦点坐标为( ) A. )0,41( B. )0,2
1
( C. )0,1( D. )0,2(
6.已知向量b a ,满足6,6||,5||-=⋅==b a b a ,则>=+<b a a ,cos ( ) A. 3531- B. 3519- C. 3517 D. 35
19
7.在ABC ∆中,3,4,3
2
cos ===BC AC C ,则=B cos ( )
A. 91
B. 31
C. 21
D. 32 8.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是 ( ) A. 246+ B. 244+ C. 236+ D. 234+
9.已知7)4
tan(tan 2=+
-π
θθ,则=θtan ( )
A. 2-
B. 1-
C. 1
D. 2
10.若直线l 与曲线x y =和圆5
1
22=+y x 都相切,则l 的方程为 ( )
A. 12+=x y
B. 212+=x y
C. 121+=x y
D. 2
1
21+=x y
11.设双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的左、右焦点分别为21,F F ,离心率为5.P 是C 上的
一点,且P F P F 21⊥,若21F PF ∆的面积为4,则=a ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
12.已知5485813,85<<.设8log ,5log ,3log 1385===c b a ,则( ) A. c b a << B. c a b << C. a c b << D. b a c <<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-≥+1020x y x y x ,则y x z 23+=的最大值为
14. 62)2
(x
x +的展开式中常数项为 (用数字作答).
15.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为
16.关于函数x x x f sin 1
sin )(+=有如下四个命题:
①)(x f 的图象关于y 轴对称; ②)(x f 的图象关于原点对称; ③)(x f 的图象关于直线2
π
=
x 轴对称; ④)(x f 的最小值为2.
其中所有真命题的序号是
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必做题，每个试题考生必须作答。
第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
(一)必做题：共60分。
17.(12分)
设数列}{n a 满足n a a a n n 43,311-==+.
(1)计算32,a a ,猜想}{n a 的通项公式并加以证明; (2)求数列}2{n n a 的前n 项和n S .
18.(12分)
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人数,整理数据得到下表(单位:天):
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为4,3,2,1的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) (3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面22⨯列联表,并根据列联表,判断能否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天空气质量有关? 附: )
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=,
19. (12分)
如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,点F E ,分别在棱11,BB DD 上,且112,2FB BF ED DE ==.
)(2k K P ≥ 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
B
(1)证明:点1C 在平面AEF 内;
(2)若3,1,21===AA AD AB ,求二面角1A EF A --的正弦值.
20. (12分)
已知椭圆)50(125:
22
2<<=+m m
y x C 的离心率为B A ,,415分别为C 的左、右顶点. (1)求C 的方程;
(2)若点P 在C 上,点Q 在直线6=x 上,且BQ BP BQ BP ⊥=|,|||,求APQ ∆的面积.
21. (12分)
设函数c bx x x f ++=3)(,曲线)(x f y =在点))2
1
(,21(f 处的切线与y 轴垂直.
(1)求b ;
(2)若)(x f 有一个绝对值不大于1的零点,证明:)(x f 所有零点的绝对值都不大于1.
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按照所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为t t
t y t
t x (,3222
2
⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=为参数且)1≠t ,C 与坐标轴交于B A ,两点.
(1)求||AB ;
(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB 的极坐标方程.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 设∈c b a ,,R ,1,0==++abc c b a . (1)证明:0<++ca bc ab ;
(2)用},,max{c b a 表示c b a ,,的最大值,证明:34},,max {≥c b a .。