2019年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii +-13= （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A I = . 3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是 .4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角 函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V Λ . 7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范 围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角 6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf ==)(θf . 11择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则⋅的取值范围是 .13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A(0,0)，B(21,5)，C(1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则 （ ） （A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 （ ）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定. 17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221xx +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则 （ ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD .（D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++=Λ21. 在10021,,,S S S Λ中，正数的个数是 （ ） （A ）25. （B ）50. （C ）75. （D ）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74 E19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分） （2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图.24912x y =援船出发t （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置时（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP⊥OQ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥O N ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）23．对于数集},,,,1{21n x x x X Λ-=，其中n x x x <<<<Λ210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P. 例如}2,1,1{-=X 具有性质P. （1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21Λ的通 项公式.（8分）2019年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii +-13= 1-2i （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A I =)3,(21- .3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是],[2325-- .4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为arctan2 （结果用反三角 函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 -160 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V Λ78 . 7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范 围是 (-∞, 1] .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为π33 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g-1 .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf ==)(θf )sin(16θπ- .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 [2, 5] . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A(0,0)，B(21,5)，C(1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为 常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是12232--c a c . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则 （ B ） （A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 （ C ）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221xx +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则 （ A ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD .（D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++=Λ21. 在10021,,,S S S Λ中，正数的个数是 （ D ） （A ）25. （B ）50. （C ）75. （D ）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2，AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）ABC D P E[解]（1）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ， 从而CD ⊥PD. ……3分因为PD=32)22(222=+，CD=2，所以三角形为3232221=⨯⨯. ……6 （2）[解法一] 则B(2, 0, 0)，C(2, 22 )1,2,1(=，)0,22,0(= 设与BC 的夹角为θ，则222224cos ===⨯⋅BC AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线BC 与AE 所成的角 ……8分 在AEF ∆中，由EF=2、AF=2、AE=2 知AEF ∆是等腰直角三角形， 所以∠AEF=4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π……12分 20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分） （2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分） [解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .y A B C D P E F由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y . 因为y x 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图.24912x y =援船出发t （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y = 中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分 由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP⊥OQ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥O N ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）[解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线xy 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y . 解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S . ……4分 （2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b . (6)分由⎩⎨⎧=-+=1222y x bx y ，得01222=---b bx x .设P(x 1, y 1)、Q(x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ， 故OP⊥OQ . ……10分（3）当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1，|OM|=22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||kkON ++=. 同理121222||-+=k kOM . ……13分设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d=33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分23．对于数集},,,,1{21n x x x X Λ-=，其中n x x x <<<<Λ210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P. 例如}2,1,1{-=X 具有性质P. （1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21Λ的通 项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. (2)分所以x=2b ，从而x=4. ……4分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a . 由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X. ……7分假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾. 所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i=1, 2, …, n. ……12分记},,,1,1{2k k x x A Λ-=，k=2, 3, …, n.先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P. 任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i=1, 2, …, n. 当n=2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A Λ-=有性质P ，则1-=i i q x ，i=1, 2, …, k ；当n=k+1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A Λ有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A Λ-=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A Λ.取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t 中有且只有一个为-1. 若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1.综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i=1, 2, …, n. ……18分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211s t t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B t s >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ΛI 共有n-1个数，所以),0(∞+I B 也只有n-1个数.由于1221x x x x x x x x nnn nn n<<<<--Λ，已有n-1个数，对以下三角数阵 1221x xx x x x x x nnn nn n<<<<--Λ 113121x x x x x x n n n n n -----<<<Λ (1)2x x注意到12111x x x x x x n n >>>-Λ，所以12211x x x x x x n n n n===---Λ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x x k q x x ，k=1, 2, …,n. ……18分。