(A) A 的特征值全为正；(B) A 的一切顺序主子式全为正；
(C) A 的主对角线上的元素全为正； (D)对一切 n 维列向量 x ， xT Ax 全为正.
5. 设 A, B 为 n 阶矩阵，那么( B ).
(A) 若 A, B 合同，则 A, B 相似；(B) 若 A, B 相似，则 A, B 等价；

0
，且二次型
f
( x1 ,
x2 ,
x3 )

2 x12

3x
2 2

3x32

2ax2 x3 通过正
交变换化成标准形 f y12 2 y22 5 y32 ，求参数 a 及所用的正交变 换矩阵.
测试题（相似矩阵与二次型）
第2页共2页
5 3 7
五. 若矩阵 A 满足 A2 3A 2E O ，证明 A 的特征值只能是1或 2 .
六.
证明
A


2 0
0 0
0 1
与
B


1 0
0 1
0 0Βιβλιοθήκη 相似. 0 1 0
0 6 2
七.
设
A


0 x
0 1
1 y

与对角阵相似，求
x
和
y
应满足的条件.
1 0 0
八．已知 A 为实对称可逆矩阵，证明二次型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax 与
二次型 g(x1, x2 ,, xn ) xT A1x 具有相同的规范型.
九．求 A 1nn 的特征值与特征向量.
十．已知 a
3. 若二阶矩阵 A 的特征值为 1和1，则 A2004= E
.
4. n 阶方阵 A 的特征值均非负，且 A2 E ，则其特征值必为
1
5. 二次型 f (x1, x2 , x3 , x4 ) 2x1x2 ax3 x4 的秩为 2 ，则 a 0
.
测试题（相似矩阵与二次型）
第1页共2页
4. 若1, 2 ,, k 线性无关且都是 A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍 为 A 的特征向量. ( × )
5．已知 A 为 n 阶矩阵， x 为 n 维列向量，如果 A 不对称，则 xT Ax 不是二次型. ( × )
四.
求矩阵
A


4 6
2 4
5 9
的特征值与特征向量.
三. 判断题（正确打 V，错误打×） 1．若 Ann xn1 2xn1 ，则 2 是 Ann 的一个特征值. ( × ) 2．实对称矩阵 A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( V ) 3．二次型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax 在正交变换 x Py 下一定化为标准型.( × )
(C) 若 A, B 等价，则 A, B 合同；(D) 若 A, B 相似，则 A, B 合同.
二. 填空题
1. 若 A 为正定矩阵，且 AT A E ，则 A 1
.
2 0 0


2. 已知 A 0 1 1 的伴随矩阵 A 有一特征值为 2 ，则
0 0 x
x
-1，-2
测试题五（相似矩阵与二次型）
一．单项选择题 1. 若 n 阶非奇异矩阵 A 的各行元素之和均为常数 a ，则矩阵 (1 A2 )1 有一特征值为( C ). 2
(A) 2a2 ；
(B) 2a2 ； (C) 2a2 ； (D) 2a2 .
2. 若 为四阶矩阵 A 的特征多项式的三重根，则 A 对应于 的
特征向量最多有( A )个线性无关.
(A) 3 个； (B) 1 个；
(C) 2 个； (D) 4 个.
3. 设 是矩阵 A 对应于其特征值 的特征向量，则矩阵 P1AP
对应于 的特征向量为( A ).
(A) P1 ；
(B) P ；
(C) PT ； (D) .
4. 若 A 为 n 阶实对称矩阵，且二次型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax 正定，则下列结论不正确的是 ( D ).