m
a
x)
x) cos(
cos( n
b
n
b
y)
y) e jt e jt z
z
Hy Hz
kc2 H0
n
(
b
)H0
m
cos(
a
cos(m x) sin( n
x) cosa(n
b y)e jt z
b
y) e jt z
kc2
( m
a
)2
( n
b
)2
2 (m )2 (n )2 2
a
b
2、横磁波----TM波 （Hz=0）
2Ex y2
2Ex
k2Ex
0
令：
T2
2 x2
2 y 2
kc2 k 2 2
T2 Ex kc2Ex 0
同理： T2 Ey kc2Ey 0
T2 Ez kc2Ez 0
T2 E kc2E 0 T2 H kc2H 0
----波导中的波动方程
T2 ----横向拉普拉斯算子
纵向分量（z分量）的波动方程及其解
vg vp v2
波阻抗Zw(TM)、 Zw(TE)
横向电场与横向磁场的比值----波阻抗 对于TM波
j Ex H y
j Ey H x
ET ex Ex ey Ey j (ex H x ey H y )
ez ET
j
(ex H x ey H y )
j
HT
ZW (TM )
ET HT
第10章 波导----TE波、TM波传输系统
波导：能够引导电磁波的结构或装置，通常 指横截面具有一定形状的金属管
波导分类：
Waveguide
规则波导：截面的几何形状、尺寸和所填 充的介质都不变的直波导
非规则波导：
矩形波导，圆波导 金属波导，介质波导
矩形波导
Rectangular-Plate Waveguide
TM波的场分量
Ex Ey Ez
m
m
n
Ekk0cc22s((innba(m)a)EE00xsc)iosnis(n(m(anabxxy)))cesojisnt((nzbb
y) e jt z y) e jt z
H
H H kc2
x
y z
jkjc2 (
0 kc2
n
b
)
E0
sin(
m
a
x)
m
m
( a )E0 cos( a
2Hx k2Hx 0
2Ey k2Ey 0
2Hy k2Hy 0
2Ez k2Ez 0
2Hz k2Hz 0
电磁波沿z方向传播，各场量包含 e jt z 因子
E(x, y, z,t) E(x, y)e jt z H (x, y, z,t) H (x, y)e jt z
E(x, y, z,t) exExm (x, y)e jt z
矩形波导中的主模
对于矩形波导（a>b），TE10的截止频率最低， TE10称为矩形波导中的主模
kc
( m )2 ( n )2
a
b
c
2
kc
对于TE模，m，n不能同时为0，否则所有
的场量为0；当 a>b 时，m，n取1，0才能
保证kc最小，TE10是TE模的主模
对于TM模，m，n任一不能为0，否则所
2a
V与λ是无界媒质内的相速度与波长
TE10模的特征参数
(vg )TE10 v 1 /(c )TE10 v 1 / 2a
ZW (TE10 )
Ex Hy
Ey Hx
1 ( / 2a)2
波导的波阻抗----波导中相对于波的传播方向成 右手螺旋关系的横向电场与横向磁场分量复振 幅的比值
TE10模的场分量
Ex
kc2
Ez x
Hx
j
kc2
Ez y
Ey
kc2
Ez y
Hy
j
kc2
Ez x
Ez Hz 0
2Ez x2
2Ez y 2
kc2 Ez
0
用分量变量法，得到：
Ez [Acos(kxx) Bsin(kxx)][C cos(ky y) Dsin(ky y)]e jt z
边界条件
1，x 0,0 y b, Ez 0, 左璧
H z y
]
Ey
1 kc2
[
Ez y
j
H z x
]
用电磁场的纵 向分量可以完 全表示横向分 量-----只要求出 纵向分量，就 可以得出电磁 场的全部分量
Hx
1 kc2
[
j
Ez y
H z x
]
----规则波导中 不存在TEM波
kc2 2 2
（单导体波导）
----kc截止波数
均匀介质、无源区简谐波的Maxell方程
cos(n y
b
x) sin( n
b
)
e y)
jt z
e jt
z
(m )2 (n )2
a
b
2 (m )2 (n )2 2
a
b
电磁场沿横向坐标（x，y）是驻波分布 m表示场在宽边a分布的驻波的半波数
n表示场在窄边b分布的驻波的半波数
1、一组（m，n）的组合，称为一个模式，即 TEmn模或TMmn模 2、不同模式对应不同的截止波数kcmn 3、相同的m，n组合，TMmn模和TEmn模截止 波数kcmn相同----称为模式简并
E(x, y, z,t) exmEx (x, y)e jt z
H (x, y, z,t) exHxm(x, y)e jt z
ey Eym (x, y)e jt z ez Ezm (x, y)e jt z ey H ym (x, y)e jt z ez Hzm (x, y)e jt z
得到：
z
4、对于TEmn模，其中m，n可以为0，但不能 同时为0；对于TMmn模，m，n都不能为0，不 存在TMm0或TM0n模
矩形波导中的参量
kc2
( m
a
)2
( n
b
)2
----kc截止波数
2 (m )2 (n )2 2
a
b
( m )2 ( n )2 2
a
b
----γ传播常数
1、γ为实数时，kc >k，则：
t2 t1
tn tn1 t
vp
dz dt
v
1 ( / c )2
vp v 相速度大于真空光速
群速度
包络（波包）的运动速度
A0 cos(t z)e j(t z)
包络
载波
vg
d d
1
d / d
代入
k 2 kc2
( )2 ( 2 )2
v
c
vg v 1 ( / c )2 ----群速度小于光速
我们只研究：直的、均匀的波导 •直的：不弯、无分支 •均匀：截面恒定
y
特例：矩形金属波导 b
0
z
a
x
均匀介质、无源区简谐波的Maxell方程
H j E (1)
• H 0 (3)
E jH (2) • E 0 (4)
两个旋度方程（1) 、（2)是独立的，可以分别展成三个标量方程
考虑到电磁波沿z方向传播，各场量包含 e jt z 因子 E(x, y, z,t) E(x, y)e jt z H (x, y, z,t) H (x, y)e jt z
H (x, y, z,t) exHxm(x, y)e jt z
ey Eym (x, y)e jt z ez Ezm (x, y)e jt z ey H ym (x, y)e jt z ez Hzm (x, y)e jt z
2Ex
k2Ex
2Ex x2
2Ex y2
2Ex z 2
k2Ex
2Ex x2
矢量方程：T2 E kc2E 0
T2 Ex kc2Ex 0
T2 Ey kc2Ey 0
T2 Ez kc2Ez 0
T2 H z kc2 H z 0
用分离变量法求Ez，或Hz的解
2 Ez x2
2 Ez y 2
kc2Ez
0,
2Hz x2
2Hz y 2
kc2H z
0
令： Ez (x, y, z, t) X (x) Y ( y) e jt z
将Maxell的（1）、（2）方程分解成分量形式
j j
Ex Ey
H z
y
Hx
H y (1) Hz (2) x
j Ez
H y x
H x y(3)jHx源自Ez yEy(4)
jH y
Ex
Ez x
(5)
j H z
Ey x
Ex y
(6)
Ex
1 kc2
[
Ez x
j
H z y
]
Hy
1 kc2
[
j
Ez x
Ex 0
Ey
ja
H0
sin(
a
x) e j(t z)
Ez 0
Hx
ja
H0
sin(
a
x) e j(t z)
Hy 0
Hz
H0
cos( a
x) e j(t z)
TE10模分布特性
TE10波的电场分布
（a）EE′横截面
j
同理：ZW (TE)
ET HT
j
波阻抗Zw(TE)、 Zw(TM)
ZW (TM )
ET HT
Ex Hy
Ey Hx
j