学科：数学教学内容：菱形学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件．例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法． 例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。

解：四边形AEDF 是菱形，理由如下：因为，EF 垂直平分AD ，所以，△AOF 与△DOF 关于直线EF 成轴对称．所以∠ODF ＝∠OAF ，又因为AD 平分∠BAC ，即∠OAF=∠OAE 所以∠ODF ＝∠OAE ．所以AE ∥DF 同样的道理可得DE ∥AF ．所以四边形AEDF 是平行四边形，所以EO=OF ，即□AEDF 的对角线AD ，EF 互相垂直平分．□AEDF 是菱形．注意：用轴对称，平移和旋转的观点处理几何问题，往往会得到意想不到的效果． 例6．如图所示，将宽度为1的两张纸条交叉重叠在一起，得到重叠部分为四边形ABCD ，四边形ABCD 为菱形吗？为什么？分析：纸条的宽度即是图中线段AE ，AF 的长，而AE ，AF 又分别与BC ，CD 垂直．因此，如果ABCD 是平行四边形，则AE ，AF 即为它的高，再从面积入手不难推出ABCD 是菱形．解：四边形ABCD 为菱形．因为：由已知可得，AB ∥CD ，AD ∥BC ，所以，四边形ABCD 是平行四边形，由纸条的宽度为1，知AE ＝AF ＝1，又因为□ABCD 的面积=BC ·AE ＝CD ·AF ，所以BC ＝CD ，故平行四边形ABCD 为菱形例7．已知：如图所示，E 为菱形ABCD 边BC 上一点，且AB=AE ，AE 交BD 于O ，且∠DAE ＝2∠BAE ，求证：EB ＝OA ．分析：要EB ＝OA ，证它们所在的三角形全等，即△AOD ≌△BEA证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，AD=BA ，∠ABC ＝∠ADC ＝2∠ADB ∴∠DAE ＝∠AEB∵AB=AE,∴∠ABC ＝∠AEB ∴∠ABC=∠DAE∵∠DAE ＝2∠BAE ，∴∠BAE ＝∠ADB又∵AD ＝BA ∴△AOD ≌△BEA ∴AO ＝BE创新思维例1．已知：如图所示，菱形ABCD ，E 是AB 中点，DE ⊥AB ，AB=a ，求：（1）∠ABC 的度数 （2）AC 的长 （3）菱形ABCD 的面积解（1）∵E 为AB 中点，ABCD 为菱形∴EA ＝EB ＝21AB ＝21AD ∵DE ⊥AB ∴∠1＝30°，∠DAB ＝60°∴△DAB 为等边三角形 ∴∠ABC ＝120°（2）OA ＝DE ＝23a ，AC ＝2OA ＝3a （3）S ABCD ＝21×AC ×BD ＝223321a a a =⨯ 例2．四边形四边长为a 、b 、c 、d ，且a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd.试判定四边形的形状．分析：由a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd 得a 4-2a 2b 2+b 4+c 4-2c 2d 2+d 4=4abcd-2a 2b 2-2c 2d 2（a 2-b 2）2+（c 2-d 2）2+2a 2b 2-4abcd+2c 2d 2=0.（a 2-b 2）2+（c 2-d 2）2+2(ab-cd)2=0.所以a 2-b 2=0，c 2-d 2=0，ab-cd=0.所以a ＝b ，c ＝d ，a ＝c ．解：此四边形为菱形．例3．如图：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B 的平分线交AC 于D ，自A 作AH ⊥BC 于H ，交BD 于点E ，自D 点作DF ⊥BC 于F ，求证：四边形AEFD 为菱形．分析：由已知条件可选择菱形的判别方法，证明四边相等．证明∵∠AED ＝90°-∠DBH ，∠ADE ＝90°-∠ABD ，又∵∠DBH=∠ABD ，∴∠AED ＝∠ADE又∴AE ＝AD∵∠ABD=∠DBH ，DA ⊥AB ，DF ⊥BF ∴AD ＝DF∵AH ⊥BC ，DF ⊥BC ∴AE ∥DF∵AE DF ，∴四边形ADFE 为平行四边形又∵AD ＝DF ∴四边形ADFE 为菱形例4．已知一张矩形纸片ABCD ，AB ＝a ，BC ＞AB.如图所示，将纸片沿EF 折叠，使顶点A 与C 重合．（1）试证，四边形AECF 是菱形（2）若折叠后，纸片重叠的两部分面积和为2a 2，求此矩形的周长．分析：由轴对称性，易知AF ＝FC ，AE ＝EC ．又由ABCD 为矩形，知∠AFO ＝∠OEC ，所以∠OEC ＝∠OFC ，所以EC ＝FC证明（1）由已知得△AEF 与△EFC 关于EF 所在的直线对称：∴AF ＝FC ，AE ＝EC ，∠AFO ＝∠CFO 又∵ABCD 为矩形 ∴∠AFO ＝∠OEC∴∠OEC ＝∠OFC ∴EC ＝FC 即四边形AECF 为菱形解（2）由S △EFC =a 2，AB ＝a 得 EC ＝2a在Rt △ECB ′中，EB ′＝EB ＝22B C EC '-=22)2(a a -=3a ，所以BC ＝BE+EC=a 3+2a=(2+3)a ，所以周长为（6+23）a中考练兵1．如图，已知菱形ABCD 的周长为20cm ，∠A ：∠ABC ＝1：2，则对角线BD 的长等 cm.解：∵四边形ABCD 为菱形∴AB ＝AD ＝DC ＝BC ＝41×20＝5cm ∵AD ∥BC ∴∠A+∠ABC ＝180°设∠A ＝a 则∠ABC ＝2a ，∴a+2a ＝180° ∴a ＝60°，2a ＝120°∴△ABD 为等边三角形 ∴BD ＝AD ＝5cm 故应填5cm.2．已知菱形的一条对角线的长为12cm ，面积是30cm 2，则这个菱形的另一条对角线的长为 cm. 解：菱形的面积=21ab 其中a ＝12cm 则b ＝5cm 应填5cm ． 3．如图在菱形ABCD 中，若∠ABC ＝120°，则BC ：AC 的值等于（ ）A ．3:2B ．3:3C ．1:2D ．1:3解：BD ：AC ＝D0：AO 设OD ＝a ，因为∠DAB ＝60°所以∠DA0＝30°，所以DA ＝2a ，所以OA=22OD AD -=a 3即BD ：AC ＝OD ：OA ＝a ：a 3=3:3 故选B ．4．已知，如图四边形ABCD 为菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ，求证：∠AFD=∠CBE证明：∵四边形ABCD 为菱形∴BC ＝CD ，CD ∥AB ，∠BCA ＝∠DCA∴△CBE ≌△CDE ∴∠CBE=∠CDE∵∠CDE=∠AFD ∴∠AFD=∠CBE5．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的边长为 .解：由菱形的性质可知，边长=2243+=5应填5随堂演练一、填空题1．菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为 ，周长为 .2．菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角为 ， ， ， .3．菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为 .4．已知在菱形ABCD 中，E ，F 是BC ，CD 上的点，且AE ＝EF ＝AF ＝AB ，则∠B= . 5．已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm ，则较短对角线的长是 .6．已知菱形的面积等于80cm 2，高等于8cm ，则菱形的周长为 .7．已知菱形ABCD 中AE ⊥BC ，垂足E ，F 分别为BC ，CD 的中点，那么∠EAF 的度数为 .8．顺次连结菱形各边的中点，所得的四边形为 形．二、选择题1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）A ．对角线相等且互相平分B ．对角线相等且对角相等C ．对角线互相垂直D ．两组对角分别相等且一条对角线平分一组对角2．菱形ABCD ，若∠A:∠B ＝2：1，∠CAD 的平分线AE 和边CD 之间的关系是（ ）A ．相等B ．互相垂直且不平分C ．互相平分且不垂直D ．垂直且平分3．已知菱形ABCD 的周长为40cm ，BD=34AC ，则菱形的面积为（ ） A ．96cm 2 B ．94cm 2 C ．92cm 2 D ．90cm 24．菱形的周长等于高的8倍，则这个菱形较大内角是（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°5．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对边平行且相等6．下列说法正确的是（ ）A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．邻边相等的四边形为菱形7．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．对角相等且互补B ．对角线互相平分C ．一组对边平行，另一组对边相等D ．对角线互相垂直8．菱形的对角线把它分成全等的直角三角形的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个三、解答题1．如图，在菱形ABCD 中，延长AD 到E ，连结BE 交CD 于H ，交AC 于F ，且BF ＝DE ，求证：DH ＝HF.2．如图，在菱形ABCD 中,E 是AD 的中点，EF ⊥AC 交CB 的延长于F ，交AC 于M ，求证：AB 与EF 互相平分．3．已知菱形的面积为24cm 2，边长为5cm ，求该菱形中一组对边之间的距离．4．已知：如图，在菱形ABCD 中，BD 是对角线，过D 作DE ⊥BA 交BA 延长线于点E ，若BD ＝2DE ，AB ＝4，求菱形的面积。