专题2 物理中常用的数学特殊方法考点1. 利用数学方法求极值1.利用三角函数求极值(1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ,则根据二倍角公式,有y=A 2sin 2θ,当θ=45°时,y 有最大值,y max =A 2。

(2)辅助角公式法:如果所求物理量的表达式为y=a sin θ+b cos θ,通过辅助角公式转化为y=√a 2+b 2sin (θ+φ),当θ+φ=90°时,y 有最大值y max =√a 2+b 2。

2.利用二次函数求极值二次函数y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 为常数,且a ≠0),当x=-b2a 时,y有极值y m =4ac -b 24a(a>0时,y m 为极小值;a<0时,y m 为极大值)。

3.利用均值不等式求极值对于两个大于零的变量a 、b ,若其和a+b 为一定值,则当a=b 时,其积ab 有极大值;若其积ab 为一定值,则当a=b 时,其和a+b 有极小值。

1.(2019年衡水二调)(多选)如图甲所示,位于同一水平面上的两根平行导电导轨,放置在斜向左上方、与水平面成60°角足够大的匀强磁场中,现给出这一装置的侧视图,一根通有恒定电流的金属棒正在导轨上向右做匀速运动,在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的过程中,金属棒始终保持匀速运动,则磁感应强度B 的大小变化可能是( )。

A .始终变大B .始终变小C .先变大后变小D .先变小后变大2.一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜,观测到了一组双星系统,它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动,如图所示。

此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质,达到质量转移的目的,假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变,则在最初演变的过程中( )。

A .它们做圆周运动的万有引力保持不变B .它们做圆周运动的角速度不断变大C .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度也变大D .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度变小3.(2019年湖北省宜昌市高三模拟)(多选)如图所示,斜面底端上方高h 处有一小球以水平初速度v 0抛出,恰好垂直打在斜面上,斜面的倾角为30°,重力加速度为g ,下列说法正确的是( )。

A .小球打到斜面上的时间为√3v 0gB .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0成正比C .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0的平方成正比D .若高度h 一定,现小球以不同的初速度v 0平抛,落到斜面上的速度最小值为√(√21-3)gh考点2.函数图象及应用图象问题是高考命题的高频考点,年年皆有。

不管怎么考,我们只要深刻理解图象中的基本要素便可应对,具体为图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”等。

图象函数形式特例及物理意义y=c匀速直线运动的v-t 图象。

“面积”表示位移y=kx①匀速直线运动的x-t 图象。

斜率表示速度②初速度v 0=0的匀加速直线运动的v-t 图象。

斜率表示加速度,“面积”表示位移4.(2019年河南郑州二模)蹦极是一项考验体力、智力和心理承受能力的空中极限运动。

跳跃者站在约50 m高的塔台上,把一根原长为L的弹性绳的一端绑在双腿的踝关节处,另一端固定在塔台上,跳跃者头朝下跳下去。

若弹性绳的弹力遵守胡克定律,不计空气阻力,则在跳跃者从起跳到第一次下落到最低点的过程中,跳跃者的动能E k(图线①)和弹性绳的弹性势能E p(图线②)随下落高度的变化图象中,可能正确的是()。

5.(2019年陕西二模)(多选)如图所示,xOy坐标系的第一象限内分布着垂直纸面向里的有界匀强磁场,磁感应强度B=0.5 T,磁场的右边界是满足y=12x2(单位:m)的抛物线的一部分。

现有一质量m=1×10-6 kg、电荷量q=2×10-4 C的带正电粒子(重力不计)从y轴上的A点(0,0.5 m)沿x轴正方向以速度v0射入,恰好不从磁场右边界射出,则()。

A.粒子在磁场中做逆时针圆周运动B.粒子到达磁场边界的位置坐标为(3 m,4.5 m)C.粒子在磁场中运动的速率为2×102 m/sD.粒子从A点到磁场右边界的运动时间为π3×10-2 s考点3.微积分初步及应用利用微分思想的分析方法称为微元法。

它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分,再从中抽取某一微小单元进行讨论,从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法。

微元法解题的思维过程如下。

(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象。

微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积,也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等,但必须具有整体对象的基本特征。

(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等),并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关联。

(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元,并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等,对各微元的求解结果进行叠加,以求得整体量的合理解答。

③纯电阻电路的I-U图象。

斜率表示电阻的倒数y=a-kx①匀减速直线运动的v-t图象。

截距表示初速度和运动时间,斜率表示加速度,“面积”表示位移②闭合电路中的U-I图象(U=E-Ir)。

截距表示电动势和短路电流,斜率表示内阻大小y=ax+b·x(双曲线函数)①由纯电阻用电器组成的闭合电路的U-R图象(U=ER+rR)。

渐近线表示断路R=∞,U=E,U内=0②汽车以恒定功率启动。

渐近线表示:合力为0,速度最大,有v m=PF阻(类比电磁感应现象中导体杆在恒力作用下的运动)y=kx2(抛物线函数)①位移与时间的x-t图象(x=12at2)。

斜率表示速度②小灯泡消耗的实际功率与外加电压的P-U图象。

由P=U2R求解y=A sin ωt交流电的e-t图象(e=Em sinωt)。

可读出峰值和周期6.(2019年武汉二调)运动员在水上做飞行运动表演,他操控喷射式悬浮飞行器将水带竖直送上来的水反转180°后(速度大小不变)向下喷出,令自己悬停在空中,如图所示。

已知运动员与装备的总质量为90 kg,两个喷嘴的直径均为10 cm,已知重力加速度大小g=10 m/s2,水的密度ρ=1.0×103 kg/m3,则喷嘴处喷水的速度大约为()。

A.2.7 m/sB.5.4 m/sC.7.6 m/sD.10.8 m/s7.(2019年山西省晋城市高三下学期第三次模拟)太空中的尘埃对飞船的碰撞会阻碍飞船的飞行,质量为M的飞船飞入太空尘埃密集区域时,需要开动引擎提供大小为F的平均推力才能维持飞船以恒定速度v匀速飞行。

已知尘埃与飞船碰撞后将完全黏附在飞船上,则在太空尘埃密集区域单位时间内黏附在飞船上的尘埃的质量为()。

A.M+Fv B.Fv-M C.M-FvD.Fv8.如图甲所示,半径r=0.5 m的圆形匀强磁场区域与x轴相切于坐标系的原点O。

磁感应强度B=2×10-3 T,方向垂直于纸面向外。

在x=1 m和x=2 m 之间的区域内有方向沿y轴正方向的匀强电场,电场强度E=1.5×103 N/C。

在x=3 m处的x轴上方有一与y轴平行且足够长的荧光屏,在O点有一个粒子源,能沿纸面各个方向发射质量m=1.6×10-28 kg,带电荷量q=1.6×10-19 C且速率相同的粒子,其中沿y轴正方向射入的粒子恰能从磁场最右侧的A点离开磁场,不计粒子的重力、空气的阻力及粒子间的相互作用力。

(1)求这些粒子在磁场中运动的速度。

(2)求这些粒子打在荧光屏上的范围(位置坐标表示)。

(3)若没有荧光屏,粒子射出电场后立即进入某种不导电的介质中运动,其所受介质阻力与速率成正比,比例系数k=1.6×10-21 N·s/m。

求粒子在该介质中运动的轨迹长度(电荷量不变)。

考查角度1数学归纳法我们经常会遇到一些反复多次的物理过程,通常用“n”来表示,这类习题考查考生对物理规律的理解程度,对考生的思维能力有较高的要求,高考物理试题中也出现过。

这类题的解法通常如下。

方法1:从n=1开始,列出相应的方程,再分析出n=2,3,4,…时的规律,并列出方程,从而总结归纳出第n次的结论,我们称之为归纳法。

这种方法思维较容易,分析过程较简单,但解题过程较烦琐。

方法2:直接找出第n次所具有的状态特征,不考虑复杂的过程,利用物理规律列方程求解,我们称之为临界状态法。

这种方法思维较难,但解题过程较简捷。

这类物理问题都具有过程多、重复性强的特点,但每一个重复过程均不是原来的完全重复,而是一种变化了的重复。

随着物理过程的重复,某些物理量逐步发生着前后有联系的变化。

该类问题求解通常需要借助数列的相关知识。

基本思路为:(1)逐个分析开始的几个物理过程。

(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)。

(3)最后分析整个物理过程,应用数列特点和规律求解。

无穷数列的求和,一般是无穷递减数列,有相应的公式可用。

等差:S n=n(a1+a n)2=na1+n(n-1)2d(d为公差)。

等比:S n=a1(1-qn)1−q(q为公比)。

9.(2019年湖北省麻城一中高考冲刺模拟)(多选)水平长直轨道上紧靠放置n个质量为m可看作质点的相同物块,物块间用长为L的不可伸长的细线连接,开始时处于静止状态,物块与轨道间的动摩擦因数为μ。

用水平恒力F拉动物块1开始运动,到连接第n个物块的线刚好拉直时整体速度正好为零,则()。

A.拉力F所做的功为nFLB.系统克服摩擦力做的功为n(n-1)μmgL2C.F>nμmg2D.(n-1)μmg<F<nμmg10.雨滴在穿过云层的过程中,不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体,其质量逐渐增大。

现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。

已知雨滴的初始质量为m0,初速度为v0,下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并,质量变为m1。

此后每经过同样的距离l后,雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并,质量依次变为m2、m3、…、m n(设各质量为已知量)。

不计空气阻力。

(1)若不计重力,求第n次碰撞后雨滴的速度v n'。

(2)若考虑重力的影响: a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和v1'。

b.求第n次碰撞后雨滴的动能12m n v n'2。

11.如图所示,一轻绳吊着一根粗细均匀的棒,棒下端离地面高为H,上端套着一个细环。

棒和环的质量均为m,它们相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k>1)。

断开轻绳,棒和环自由下落。

假设棒足够长,与地面发生碰撞时触地时间极短,且无动能损失。