L= n
λ
2
, (n = 1, 2⋅ ⋅ ⋅ )
★ 波节 — 振幅为0，始终静止的点
振幅最大， ★ 波腹 — 振幅最大，振动最强的点
二. 驻波方程
y1 = Acos (ω t 2π
x
λ
+ ϕ1 )
λ ϕ1 + ϕ2 x ϕ2 −ϕ1 y = 2Acos(2π + )cos(ω t + ) λ 2 2
L=n
λn
A
弦 L
B
一端固定一端自由 一端固定一端自由 固定一端 的弦振动的简正模式
1 λn l = (n − ) n = 1,2,⋯ 2= 4 5λ 3 l= 4
2）笛中的驻波
L = (2n −1)
λn
4
n=1 n=2 n=3 n=4 第二谐频
2L λn = 2n −1 u u νn = = (2n −1) λn 4L
波节两边质点作反相 反相振动 ★ 波节两边质点作反相振动 。
3. 驻波的能量特征 (1) 当各质点达最大位移时全部为势能，波节点附近集中的 当各质点达最大位移时全部为势能， 势能最多(此处形变最大 此处形变最大) 势能最多 此处形变最大
(2) 当各质点达平衡位置时全部为动能，波腹点附近集中的 当各质点达平衡位置时全部为动能， 动能最多(此处速度最大 此处速度最大) 动能最多 此处速度最大 (3) 驻波的动、势能在两相邻的波节波腹之间相互转化， 势能在两相邻的波节波腹之间相互转化， 既无波形传播又无振动状态和能量传播。 既无波形传播又无振动状态和能量传播。
相位跃变） 相位跃变 四、半波损失 (相位跃变）
波阻： 1. 波阻：ρ u 2. 半波损失
其中， 波速。 其中，ρ — 介质密度；u — 波速。 两介质相比较，ρ u 大者称波密介质，小者称波疏介质。 两介质相比较， 大者称波密介质，小者称波疏介质。 波密介质 波疏介质
— 当波由波疏介质向波密介质垂直入射在两介质界面
说明： ★ 说明：
x 的周期函数，决定 x 处质点的振幅。 的周期函数， 处质点的振幅。 处质点的振动状态。 (2) (ωt + ϕ′) 决定 x 处质点的振动状态。
(3) 各点作频率相同、振幅不同的谐振动。 各点作频率相同 振幅不同的谐振动 频率相同、 的谐振动。
(4) 方程中不含 (t ± x u) 项，非行波，没有波形的传播。 非行波，没有波形的传播。 (5) 驻波方程的实质：振动方程。 驻波方程的实质：
以上分析对吗？ 以上分析对吗？
若反射点在x=0或x=半波长整数倍处，则以上结 或 半波长整数倍 半波长整数倍处 若反射点在 论正确！否则错误！ 论正确！否则错误！
入射波和反射波的关系原则 入射波和反射波的关系原则 无半波损失时， 无半波损失时，
应保证反射波与入射波在反射点 振动位相相同！ 应保证反射波与入射波在反射点 x0 振动位相相同！
入射波和反射波的关系 有半波损失时， 有半波损失时，
若入射波函数为： 若入射波函数为：u 入 ( x , t ) = A cos ( ω t − kx )
u 则反射波函数一定为： 则反射波函数一定为： 反 ( x , t ) = A cos ( ω t + kx + π )
u 若入射波函数为： 入 ( x , t ) = A cos ( ω t − kx + ϕ 0 ) 若入射波函数为： u 则反射波函数一定为： 则反射波函数一定为：反 ( x , t ) = A cos (ω t + kx + ϕ 0 + π )
细雨绵绵 独立传播 独立传播
13.8 驻波
主要内容： 主要内容： 1. 驻波的形成 2. 绳上的驻波 3. 半波损失
一、驻波的产生
振幅相等、传播方向相反的两列相干波的合成波 的两列相干波的合成波。 驻波 — 振幅相等、传播方向相反的两列相干波的合成波。 例：弦线上的驻波 弦长等于半波长的整数倍 时才能形成驻波。 时才能形成驻波。
∴ x = (2k − 1)
波腹点坐标： 波腹点坐标：
λ
19λ x= , , , ⋯, 4 4 4 4
4
(k = 0, 1, 2,⋯ )
(0 ≤ x ≤ 5λ)
λ 3λ 5λ
小结： 小结：
入射波和反射波的关系
无半波损失时， 无半波损失时， 若入射波函数为： 若入射波函数为：u 入 ( x , t ) = A cos ( ω t − kx ) 则反射波函数一定为： 则反射波函数一定为：u 反 ( x , t ) = A cos ( ω t + kx )
与 t 无关 写为： 写为：
y2 = Acos (ω t + 2π
x
+ ϕ2 )
y = y1+ y2
y = A驻 cos (ω t + ϕ′)
x ϕ2 −ϕ1 A驻 = 2Acos(2π + ) λ 2
ϕ1 + ϕ2 x ϕ2 −ϕ1 )cos(ω t + ) 驻波方程 y = 2Acos(2π + λ 2 2 = A驻 cos (ω t + ϕ′) x ϕ2 −ϕ1 A驻 = 2Acos (2π + ) λ 2
或
2 L λk = 2k
L=k
λk
k =1,2,3⋯
A
L=λ 2
B
k =1,2,3⋯
A
L=λ
B
由 u= F/µ 有
k F νk = 2L µ
k =1,2,3⋯
A
L = 3λ 2
B
νk 称为本正频率,ν1 称为基频； 称为本正频率, 称为基频；
ν2，ν3，… 分别称为二次，三次谐频等. 分别称为二次，三次谐频等.
2L
T
落后了： 波由 O 传至 P 再返回 O ，引起 O 点振动相位比 y入O 落后了：
2π
λ
+π
由半波损失引起的相位差
点的振动方程 振动方程为 所以反射波在O点的振动方程为：
t 2L y反O = Acos[2π − (2π + π )] T λ t t 10λ = Acos[2π − (2π + π )] = Acos[2π − 21π ] T T λ t x 反射波方程为 得反射波方程为： y反 = Acos[2π ( + ) − 21π ] T λ
u反 ( x 0 , t ) = u入 ( x 0 , t )
Φ 反 ( x0 ,t ) = Φ 入 ( x0 ,t )
反射时相位突变 称为“半波损失” 反射时相位突变π ，称为“半波损失”。
★
ρ1v1 < ρ2v2 时，有半波损失， 有半波损失，
ρ1v1 > ρ2v2 时，无半波损失， 无半波损失，
反射处形成波腹。 反射处形成波腹。 反射处形成波节； 反射处形成波节；
★
波疏介质 波密介质
半波损失的图示解释 无半波损失的入射波与反射波
l = n
千斤
λ
2
n = 1, 2 , ⋯
波速 u =
nu 频率 ν = = λ 2l
u
T
ρ
l
码子
1 基频 n = 1 ν 1 = 2l
T
n 谐频 n > 1 ν n = 2l
ρ T
= 262 Hz
ρ
五、驻波问题举例
t x π 例： 一沿 x 轴正向传播的入射波方程为 y1 = Acos 2 ( − ) T λ 点被固定端的界面反射， 在 L = 5λ处的 P 点被固定端的界面反射，
(1) A驻 是
三、驻波的特征
1. 波节和波腹
★ 波节 — 振幅 =
x ϕ2 −ϕ1 A驻 = 2Acos(2π + ) λ 2
0
O
波节
A驻 = 0
x
波腹
x ϕ2 −ϕ1 π 2π + (k = 0, ± 1, ± 2,⋯ ) = (2k + 1) λ 2 2 ★ 波腹 — 振幅 = 2 A A驻 = 2A x ϕ2 − ϕ1 2π + ) = kπ (k = 0, ± 1, ± 2,⋯ 2 λ λ 相邻两波节(或波腹 间的距离： 或波腹)间的距离 ★ 相邻两波节 或波腹 间的距离： ∆x = xk+1 − xk = 2
y驻 = y入 + y反 = 2Acos(2π x + 21π )cos(2π t + 21π ) T 2 λ 2 x π t π ∴ y驻 = 2Acos(2π + )cos(2π + ) T 2 λ 2
x π (3) 波节点： 2Acos(2π + ) = 0 , 2π x + π = (2k + 1)π 波节点： λ 2 λ 2 2 λ x ) ∴ 2π = kπ , x = k (k = 0, 1, 2,⋯ (0 ≤ x ≤ 5λ) 2 λ λ 3λ , λ, , 2λ , ⋯, 5λ 波节点坐标： 波节点坐标： x = 0 , 2 2 x π x π 波腹点： 波腹点： 2Acos(2π + ) = 2A , 2π + = kπ λ 2 λ 2
t=0
T t= 4
波节:始终 波节: 不动的点。 不动的点。 红色虚线对 应的位置。 应的位置。 波腹: 波腹:振幅 始终最大的 点。黑色虚 线对应的位 置。
T t = 2
3T t= 4
2. 驻波中各点的相位关系 波节之间各质点作振幅不同的同相振动； 同相振动 ★ 波节之间各质点作振幅不同的同相振动；
求：(1) 反射波的波动方程； (2) 合成的驻波方程； 反射波的波动方程； 合成的驻波方程； (3) 合成驻波的波节、波腹点的坐标。 合成驻波的波节、波腹点的坐标。 波密 反射波 t x 介质 解： (1) y入 = Acos 2π ( − ) 入射波 P T λ O x t L = 5λ