v0
(
m k
)
；(4)证明当
t
=
m
k
时速
答: (1)∵ 分离变量，得
即
a = − kv = dv m dt
dv = − kdt vm v dv t − kdt
=
v v0 0 m
ln
v
=
ln
e−
kt m
v0
∴
v
=
v e−
k m
t
0
(2)
x =
vdt =
t 0
v0
e
−
k m
t
dt
=
mv 0 k
(1
I = a2 2b
m = I = a2 v0 2bv0
证毕．
7
设 F合
= 7i − 6 jN ．(1)
当一质点从原点运动到 r
= −3i + 4 j +16km 时，求 F
所作的
功．(2)如果质点到 r 处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的
变化．
解: (1)由题知， F合 为恒力，
答这两个问题．
解: (1)若物体原来静止，则
p1 =
t Fdt =
0
4
(10
+
2t)i dt
=
56
kg
m
s−1i
,沿
x
轴正向，
0
v1 I1 =
= p1 m
p1 =
= 5.6 56 kg
ms m
−1i
s −1i
若物体原来具有 − 6 m s−1 初速，则
p0
= −mv0 , p = m(−v0
计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 0 ,得 t = a b
I = t (a − bt)dt = at − 1 bt 2
0
2
将 t = a 代入，得 b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
I = t (10 + 2t)dt = 10t + t 2 0
亦即
t 2 +10t − 200 = 0
3
解得 t = 10 s，( t = 20 s 舍去)
6一颗子弹由枪口射出时速率为 v0m s −1 ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F
=( a − bt )N( a,b 为常数)，其中 t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试
+
t 0
F m
dt)
=
−mv0
+
t Fdt 于是
0
同理，
p2 =
p
−
p0
=
t 0
Fdt
=
p1
,
v2
=
v1
,
I2
=
I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大， 那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
的摩擦力为8N，到达 B 点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物
体最后能回到的高度． 解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
4
−
fr s
=
1 2
k x2
− 1 2
mv2
N，当 t ＝0时， x = y = 0， v x ＝-2 m·s-1， v y ＝0．求 当 t ＝2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度．
解：
ax
=
fx m
=6 16
=3 8
m s −2
ay
=
fy m
=
−7 16
m s−2
(1)
vx
= vx0 +
2 0
a x dt
=
−2
+
3 8
2
=
−
5 4
mv0
，方向竖直向下．
5 作用在质量为10 kg的物体上的力为 F = (10 + 2t)i N，式中 t 的单位是s，(1)求4s后，这
物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该
力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 − 6 j m·s-1的物体,回
∴
A合 = F r = (7i − 6 j ) (−3i + 4 j + 16k )
= −21− 24 = −45 J
(2)
P = A = 45 = 75 w
t 0.6
(3)由动能定理， Ek = A = −45 J
8 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度 v0 ＝3m·s-1从斜面 A 点处下滑，它与斜面
−
e
−
k m
t
)
(3)质点停止运动时速度为零，即 t→∞，
故有
x =
0
v0
e
−
k m
t
dt
=
mv 0 k
(4)当 t= m 时，其速度为 k
v
=
v e−k m mk 0
= v0e−1
=
v0 e
即速度减至
v
0
的
1 e
.
4一质量为
m
的质点以与地的仰角
=30°的初速
v0
从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点
习题二
1 一个质量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 v0 运动， v0 的方向与
斜面底边的水平线 AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解:
物体置于斜面上受到重力 mg ，斜面支持力 N
.建立坐标：取
v0
方向为
X
轴，平行斜
面与 X 轴垂直方向为Y 轴.如图 2-2.
题 2-2 图
2
落地时相对抛射时的动量的增量． 解: 依题意作出示意图如题 2-6 图
题 2-6 图 在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对 y 轴对称性，故末速度与 x 轴夹角亦为 30o ，则动量的增量为
p = mv − mv0
由矢量图知，动量增量大小为
m s −1
v y
= vy0 +
2
0 ay dt
=
−7 16
2
=
−
7 8
m s −1
于是质点在 2s 时的速度
1
v
=
−
5
i
−
7
j
48
m s−1
(2)
r
=
(v0t
+
1 2
axt
2
)i
+
1 2
ayt
2
j
=
(−2
2
+
1
3
4)i
+
1
(−
7)
4
j
28
2 16
=
− 13
i
−
7
j
m
48
X 方向： Y 方向：
Fx = 0
x = v0t
①
Fy = mg sin = ma y
②
t =0时 由①、②式消去 t ，得
y =0
vy = 0 y = 1 g sin t 2
2
y = 1 g sin x2 2v02
2 质量为16 kg 的质点在 xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 f x ＝6 N， f y ＝-7
3 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 kv ( k 为常数)作用， t =0时质点的速
−( k )t
度为 v0 ，证明(1) t 时刻的速度为 v ＝ v0e m ；(2) 由0到 t 的时间内经过的距离为
x ＝(
mv 0 k
−( k )t
)［1- e m
］；(3)停止运动前经过的距离为