第05练 二次函数与幂函数刷基础1．（2020·贵溪市实验中学高二期末）已知函数()253()1m f x m m x --=--是幂函数且是(0,)+∞上的增函数，则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－1或2 D ．0【答案】B 【解析】由题意得211,530,1m m m m --=-->∴=-， 故选：B.2．（2020·浙江高一课时练习）如图，函数1y x=、y x=、1y =的图象和直线1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（ ）A ．y ＝x 2B ．y x=C ．12y x =D ．y=x -2【答案】B 【解析】由图象知，幂函数()f x 的性质为：（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，； （2）当01x <<时，()1f x >，且()1f x x <；当1x >时，01x <<，且()1f x x>； 所以()f x 可能是y x=.故选B.3．（2019·河南高三月考）若e a =π，3e b =，3c π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】A 【解析】因为3xy =在R 上为增函数，所以33e π<，即b c <. 因为e y x =在(0,)+∞为增函数，所以3e e π>，即a b >. 设ln ()xf x x=， 21ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，x e =. (0,)x e ∈，()0f x '>，()f x 为增函数， (,)x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 为减函数.则()(3)f f π<，即ln ln 33ππ<，因此3ln ln3ππ<， 即3ln ln 3ππ<，33ππ<.又33e πππ<<，所以a c <. 所以b a c <<. 故选：A4．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是（ ） A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，1233<，所以12331122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,∞+上递增，1152<；所以22331152⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223323111 522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D.5．（2020·越秀广东实验中学高一期末）幂函数y a x=，当a取不同的正数时，在区间[]01，上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点()()A10B01，，，，连结AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y ya bx x、==的图像三等分，即有BM MN NA==，那么1ab-=（）A．0 B．1 C．12D．2【答案】A【解析】因为BM MN NA==，点()()A10B01，，，，所以1221M N3333⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，分别代入y ya bx x、==中，213312log b log33a==，所以2313111log023log3ab-=-=，故选A．6．（2020·湖南茶陵三中高一开学考试）已知函数()()()f x x a x b=--（其中a b>）的图象如图所示，则函数()()logag x x b=-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】法一：结合二次函数的图象可知，1a >，10b -<<，所以函数()()log a g x x b =-单调递增，排除C ，D ；把函数log a y x =的图象向左平移b 个单位，得到函数()()log a g x x b =-的图象，排除A ，选B. 法二：结合二次函数的图象可知，1a >，10b -<<，所以1a >，01b <-<，在()()log a g x x b =-中，取0x =，得()()0log 0a g b =-<，只有选项B 符合， 故选B.7．（2018·福建厦门双十中学）函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}【答案】D 【解析】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2b x a =-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a=-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 8．（2020·安徽宣城高一期末）若函数()21242f x x x =-+的定义域、值域都是[]2,2(1),b b >则（ ） A ．2b = B ．2b ≥C ．()1,2b ∈D ．()2,b ∈+∞【答案】A【解析】结合二次函数的性质，函数()21242f x x x =-+的对称轴为2x =， 结合题意和二次函数的性质可得：()22f b b =， 即：()21222422b b b ⨯-⨯+=， 整理可得：2320b b -+=， 解方程有：2b =或1b =(舍去)， 综上可得2b =. 本题选择A 选项.9．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高二月考）若函数21()2f x x a x =+在区间[]3,4和[]2,1--上均为增函数,则实数a 的取值范围是( ) A ．[]4,6 B ．[]6,4--C ．[]2,3D ．[]3,2--【答案】D 【解析】21()2f x x a x =+, ()()()221122f x x a x x a x f x -=-+-=+=,()f x ∴为实数集上的偶函数，因为在区间[]3,4和[]2,1--上均为增函数， 所以()f x 在区间[]3,4递增和在[]1,2上递减，，∴函数21()2f x x a x =+，0x >的对称轴[]2,3x a =-∈， 得[]3,2a ∈--，故选D.10．（2020·四川成都外国语学校）函数5cos 2sin ,0,6y x x x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值为（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．3-【答案】A 【解析】函数2213()cos2sin 12sin sin 2(sin )22f x x x x x x =-=--=-++，而50,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0sin 1x ， 故当sin 1x =时，函数取得最小值为-2， 函数5cos 2sin ,0,6y x x x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值为-2. 故选：A ．11．（2020·北京顺义牛栏山一中高三月考）函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ）A ．52B ．522+C ．32D ．2【答案】B 【解析】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-， 当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f （x ）的图象如图：当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2． 当x=12时，f （12）=14-． 当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=14-．即4x 2+4x ﹣1=0，解得x=44248--±=⨯=4182-±-±=，∴此时x=12-， ∵[m ，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，1122m -≤≤，∴n ﹣m 的最大值为2﹣122--=5222+， 故选：B ．12．（2019·湖南雁峰衡阳市八中（文））“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增，取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件.13．（2018·民勤县第一中学高一期中）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②0y x =图象是一条直线；③若函数2xy =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{}|1y y ≤；④若函数1y x=的定义域是{}|2x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；⑤若函数2y x 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域一定是{}|22x x -≤≤．其中不正确命题的序号是 ．【答案】②③④⑤ 【解析】幂函数图象不过第四象限，①正确；0y x =图象是直线1y =上去掉点(0,1)，②错误；函数2xy =的定义域是{}|0x x ≤，则它的值域是{|01}y y <≤，③错误；函数1y x=的定义域是{}|2x x >，则它的值域是1|02y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，④错误；若函数2y x 的值域是{}|04y y ≤≤，则它的定义域也可能是{}|02x x ≤≤，⑤错误，故填②③④⑤．刷能力1．（2020·首都师范大学附属中学高一月考）已知二次函数f （x ）＝x 2+bx +c ，若对任意的x 1，x 2∈[-1，1]，有|f （x 1）-f （x 2）|≤6，则b 的取值范围是（ ） A ．[]5,5- B ．[]4,4-C ．[]3,3-D ．[]22-,【答案】C 【解析】∵二次函数f （x ）＝x 2+bx +c ＝22b x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+c ﹣24b ，对称轴x ＝﹣2b ，①﹣2b＜﹣1即b ＞2时，函数f （x ）在[﹣1，1]递增， f （x ）min ＝f （﹣1）＝1﹣b +c ，f （x ）max ＝f （1）＝1+b +c ，故f （﹣1）﹣f （1）＝﹣2b ，|f （1）﹣f （﹣1）|＝|2b |≤6得23b <≤ ，②﹣2b＞1时，即b ＜﹣2时，|f （1）﹣f （﹣1）|＝|2b |≤6得32b -≤<-， ③当﹣1≤﹣2b ≤1，即﹣2≤b ≤2时，函数f （x ）在[﹣1，-2b ]递减，函数f （x ）在[﹣2b，1]递增，∴|f （1）﹣f （﹣2b ）|≤6，且|f （﹣1）﹣f （﹣2b）|≤6，即|24b +b +1|≤6，且|24b ﹣b +1|≤6，解得：﹣3≤b ≤3，又﹣2≤b ≤2， 故b 的取值范围是[]3,3- 故选C ．2．（2019·贵州毕节高一期末）已知函数()223f x x mx =--，若对于[]()1,2,2x f x m ∈<-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．14,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】[]1,2x ∈，()2f x m <-恒成立，等价于[]1,2x ∈，()20f x m -+<恒成立.令2()()225g x f x m x mx m =-+=-+-，对称轴为x m =.即等价于[]1,2x ∈，max ()0g x <即可. 当1m 时，得到1(2)4450m g m m ≤⎧⎨=-+-<⎩，解得：113m -<≤.当12m <<时，得到12(2)4450(1)1250m g m m g m m <<⎧⎪=-+-<⎨⎪=-+-<⎩，解得：12m <<.当2m ≥时， 得到2(1)1250m g m m ≥⎧⎨=-+-<⎩，解得：2m ≥.综上所述：13m >-. 故选：A3．（2015·浙江慈溪高一期中）已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,21(，则2log (2)f 的值为( ) A ．21 B ．21- C ．2 D ．2- 【答案】A ． 【解析】试题分析：设幂函数为()af x x =，由题意得，11()222a a =⇒=，∴12221log (2)log 22f ==，故选A ． 4．（2020·浙江嵊州高三三模）已知,a b ∈R ，设函数()2f x x ax b =++，函数()2g x x cx d =++，若函数()()()()y f g x g f x =-没有零点，则（ ） A ．a c =，且b d =B ．a c ≠，且b d =C ．a c =，且b d ≠D ．a c ≠，且b d ≠【答案】C 【解析】若()()()()y f g x g f x =-没有零点，即()()()()f g x g f x =无解， 即()()f x g x x ==无解，所以()()2211x a x b x c x d +-+=+-+无解，整理得()a c x d b -=-无解 所以,a c b d =≠. 故答案选：C.5．（2018·浙江高三其他）已知()()20f x ax bx c a =++≠，其中b a c =+，若对任意的实数b ，c 都有不等式()()222f b cf bc ≥+成立，则方程()0f x =的根的可能性为（ ）A ．有一个实数根B ．两个不相等的实数根C ．至少一个负实数根D ．没有正实数根 【答案】C 【解析】因为()()222440b ac a c ac a c ∆==+-=-≥-， 所以()0f x =至少有一个根①，因为对任意的实数b ，c 都有不等式()()222f b cf bc ≥+成立，222bc bc +≥恒成立，所以()()20f x ax bx c a =++≠在区间,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以0a >． 若0b =，由b a c =+得c a =-，此时()20f x ax a =-=有一个负根和一个正根；若0b >，则02bx a=-<， 结合①可知()0f x =至少有一个负根； 若0b <，由0a >，b a c =+，得0c <，则()0f x =有一个负根和一个正根， 故选：C ．6．（2019·河北莲池保定一中高三月考）已知函数2()220182019f x ax x =--，对任意t R ∈在区间[]1,1t t -+存在两个实数12,x x，使 12()()1f x f x -≥成立，则a 的取值范围是( )A ．11[,]22- B ．[1,1]-C ．(]{}[),101,-∞-+∞D ．{}11,0,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D 【解析】存在两个实数1x ，2x ，使()()()()12max min 11f x f x f x f x -≥⇔-≥，()2220182019f x ax x =--与22y ax =的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合.因为11t x t -≤≤+且t R ∈，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于1，因此取纵坐标之差最小的状态为()()2211f x axx =-≤≤，当0a >时，此时()()max min 201f x f x a -=-≥，故12a ≥； 当0a =时，显然符合；当0a <时，此时()()max min 021f x f x a -=-≥，故12a ≤-， 故选：D7．（2020·湖北武昌高一期末）已知函数2()()f x ax bx c a b c =-+<<有两个零点1-和m ，若存在实数0x ，使得()00f x >，则实数m 的值可能是（ ） A ．02x - B ．012x -C ．032x +D ．03x +【答案】C 【解析】1-是2()()f x ax bx c a b c =-+<<的一个零点，所以0a b c ++=，又,0,0a b c a c <<∴<>，由,0a b a <<可得1b a<，由02a b c a b b a b =++>++=+可得12b a >-，函数图像是开口向下的抛物线，对称轴为2b x a=-，则11224b a -<-<画出大致图像，如图：1-到对称轴的距离为151,224b d a ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则5121,2m d ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，又05022m x d <-<<，∴005,2m x x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，综上所述，函数的另一个零点可能是032x + 故选：C8．（2017·浙江高二学业考试）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记集合(){}|0A x R f x =∈≤，()(){}|10B x R f f x =∈+≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,4-B ．[]22-,C ．[]2,0-D ．[]0,4【答案】B 【解析】A ≠∅∴可设(){}{}1212|0=|,A x R f x x R x x x x x =∈≤∈≤≤≤，则12,x x 为方程()20f x x ax b =++=的两个根，()(){}(){}(){}1212|10|1|11B x R f f x x R x f x x x R x f x x =∈+≤=∈≤+≤=∈-≤≤-因为A B =，所以()2110,1x x f x -=-≤恒成立， 因此21221,x x x b x b ==∴=由()11x f x -≤恒成立得2201,1x ax b x ax b ++++≤≥-恒成立，即24022a a ∆=-≤∴-≤≤ 故选：B9．（2019·浙江舟山高二期末）已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n m =-，()f n m n =-，则当m x n <<时，有（ ）A ．()f x x n +<B ．()f x x m +>C ．()0f x x -<D ．()0f x x ->【答案】A 【解析】设(,)(,)A m n m B n m n --，，则直线AB 的方程为2y x m n =-++，即A,B 为直线2y x m n =-++与()f x 的图像的两个交点，由于()f x 图像开口向上，所以当m x n <<时，()2f x x m n <-++，即()f x x x m n n +<-++<，故选A.10．（2019·上海外国语大学附属大境中学高一期末）已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，f (m )＜0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数C ．0D ．符号与a 有关【答案】A 【解析】函数2y x x =+在x 轴以下的部分时，10x -<<，总区间只有1的跨度，又0a >，()f x ∴图象由函数2y x x =+的图象向上平移，∴小于零的区间长会小于1，又()0f m <，1m ∴+一定跨出了小于零的区间， ()1f m ∴+一定是正数，故选A.11．（2018·浙江湖州高一期中）已知1是函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ＞b ＞c ）的一个零点，若存在实数x 0．使得f （x 0）＜0．则f （x ）的另一个零点可能是（ ） A ．0x 3- B ．01x 2-C ．03x 2+D ．0x 2+【答案】B 【解析】∵1是函数f （x ）=ax 2+bx+c 的一个零点， ∴a+b+c=0，∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，且|a|＞|b|，得11b a-<< 函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为2b x a=- 所以11222b a -<-< 画出函数大致图象如图：当1022b a ≤-<时，函数的另一零点x 1∈[-1，0），x 0∈（-1，1） 则x 0-3∈（-4，-2），0111,222x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ ，0315,222x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()021,3x +∈ 当1022ba -<-<时，函数的另一零点x 1∈（-2，-1），x 0∈（-2，1）则x 0-3∈（-5，-2），0151,222x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ ，0315,222x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，()020,3x +∈ 综上可知f （x ）的另一个零点可能是01x 2- 所以选B12．（2012·浙江高三竞赛）()2f x x bx c =++，若方程()f x x =无实根，则方程()()f f x x =（ ）A ．有四个相异实根B ．有两个相异实根C ．有一个实根D ．无实数根【答案】D 【解析】因为抛物线2()f x x bx c =++开口向上，由方程()f x x =无实数根可知，抛物线2()f x x bx c =++必在直线y x =上方，即对任意的x ∈R ，()(())()f x x f f x f x x >⇒>>， 所以方程(())f f x x =没有实根，故选D.刷真题1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－31x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x =-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 2．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 3．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.4．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 5．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则()8f -的值是▲ ．【答案】4-【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-。