XX教育，让每个孩子更优秀!XX教育学科教师辅导讲义组长签字：一、导入目录1、必备基础知识2、不同类型典型例题及应用~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习梳理中学阶段学习的三角形的相关知识和定理~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题知识点一：三角形中各元素间的关系1、在直角△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA ＝cosB ＝c a ，cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝b a。

2、斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA ； b2＝c2＋a2－2cacosB ； c2＝a2＋b2－2abcosC知识点二：三角形的面积公式（1）∆S ＝21aha ＝21bhb ＝21chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21absinC ＝21bcsinA ＝21acsinB ；（3）三角形面积=abc/4R(其中R 是三角形外接圆半径） (4) S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] （其中（p=(a+b+c)/2） ）知识点三：解三角形由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

经典例题：题型1：正、余弦定理例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2：三角形面积4560,105.A ==13tan(4560)2313++==---,45sin(105= 20180,sin 1(sin 2)2A A A <<∴>=-另解 (sin -A由面积公式得21bcsinA=21acsinB 。

∵b2=ac ，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB 。

∴cB b sin =sinA=23。

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

题型4：正、余弦定理判断三角形形状例4．在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C解析：2sinAcosB ＝sinC =sin （A ＋B ）=sinAcosB+cosAsinB ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型5：三角形中求值问题例5．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。

解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A2。

cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 32；当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为32。

点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。

题型6：正余弦定理的实际应用例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为，，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为，AC=0.1km 。

试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ， 1.414，2.449）解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，即AB=因此，BD=故B ，D 的距离约为0.33km 。

点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。

三、思维总结1．解斜三角形的常规思维方法是：750300602≈6≈,ABCsin CBCA sin ∠=∠A AB ,2062315sin ACsin60+=。

km 33.020623≈+（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。

2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… 3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~五、归纳总结 1、正玄定理 2、余弦定理3、解三角形4、求解三角形面积认真思考下列问题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“√”2、我还有哪些没有解决的困惑？ 在知识点标题上画“×”~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~六、课后作业1.（2010上海文数18.）若△的三个内角满足，则△ （ ）（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2.（2010天津理数7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若，，则A=( )（A ） （B ） （C ） （D ）3.（2010湖北理数）3.在中，a=15,b=10,A=60°，则=A －BC －D4.（2010广东理数）11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .5（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 .ABC sin :sin :sin 5:11:13A B C =ABC 223a b bc -=sin 23sin C B =03006001200150ABC ∆cos B 22322363633ABC ∆1,2,BC B A ==cos ACA AC（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、，已知，且 求b7．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值。

8.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I ）求的值；（II ）若，求的值。

9.（2010陕西文数17）（本小题满分12分）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.10.（2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状.ABC ∆a b c 222a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =ABC ∆A B 、A B C 、、a b c 、、510sin ,sin 510A B ==A B +21a b -=-a b c 、、ABC ∆a b c 、、A B C 、、2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++A sin sin 1B C +=ABC ∆。