绝对值(基础)
【学习目标】
1.掌握一个数的绝对值的求法与性质;
2.进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义;
3.会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小;
4、 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题、
【要点梳理】
要点一、绝对值
1、定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|、 要点诠释:
(1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值就是它本身;一个负数的绝对值就是它的相反数;0的绝对值就是0.即对于任何有理数a 都有:
(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小. (3)一个有理数就是由符号与绝对值两个方面来确定的.
2、性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总就是正数或0.
要点二、有理数的大小比较
1、数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小、 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a ＜b.
2、法则比较法: 两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号
同为正号:绝对值大的数大 同为负号:绝对值大的反而小 两数异号
正数大于负数 －数为0 正数与0:正数大于0
负数与0:负数小于0
要点诠释:
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小;(3)判定两数的大小.
3、 作差法:设a 、b 为任意数,若a -b ＞0,则a ＞b;若a -b ＝0,则a ＝b;若a -b ＜0,a ＜b;反之成立.
4、 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >;若1a b =,则a b =;若1a b
<,则a b <;反之也成立.若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反.
5、 倒数比较法:如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小、
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1.求下列各数的绝对值.
112-,-0、3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭
(0)||0
(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
【思路点拨】112,-0、3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字就就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解.
【答案与解析】
解法一:因为112-到原点距离就是112
个单位长度,所以111122-=. 因为-0、3到原点距离就是0、3个单位长度,所以|-0、3|＝0、3.
因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|＝0.
因为132⎛
⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离就是132个单位长度,所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭
. 解法二:因为1102-<,所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭
. 因为-0、3＜0,所以|-0、3|＝-(-0、3)＝0、3.
因为0的绝对值就是它本身,所以|0|＝0.
因为1302⎛
⎫--> ⎪⎝⎭,所以113322
⎛⎫--= ⎪⎝⎭. 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种就是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种就是利用绝对值的代数意义求解(如方法2),后种方法的具体做法为:首先判断这个数就是正数、负数还就是0.再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果就是它本身,就是它的相反数,还就是0.从而求出该数的绝对值.
2.已知一个数的绝对值等于2009,则这个数就是________.
【答案】2009或-2009
【解析】根据绝对值的定义,到原点的距离就是2009的点有两个,从原点向左侧移动2009个单位长度,得到表示数-2009的点;从原点向右侧移动2009个单位长度,得到表示数2009的点.
【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念;(2)利用数形结合法在数轴上表示出来.无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值就是正数,则此数有两个,且互为相反数、 举一反三:
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数.
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.
【高清课堂:绝对值比大小 356845 典型例题3】
【变式2】如果｜x ｜＝2,那么x ＝_____ _ ; 如果｜－x ｜＝2,那么x ＝______.
如果｜x －2｜＝1,那么x ＝ ; 如果｜x ｜＞3,那么x 的范围就是 .
【答案】2-2+或;2-2+或;1或3;x>3或x<-3
【变式3】数轴上的点A 到原点的距离就是6,则点A 表示的数为 .
【答案】6或-6
类型二、比较大小
3.比较下列有理数大小:(1)-1与0; (2)-2与|-3| ;(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭与12- ;(4)1--______0.1-- 【答案】(1)0大于负数,即-1＜0;
(2)先化简|-3|＝3,负数小于正数,所以-2＜3,即-2＜|-3|;
(3)先化简1133⎛⎫
--= ⎪⎝⎭,1122-=,1123>,即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭
. (4)先化简11--=-,0.10.1--=-,这就是两个负数比较大小:因为11-=,0.10.1-=,而10.1>,
所以10.1-<-,即1--＜0.1--
【解析】(2)、(3)、(4)先化简,再运用有理数大小比较法则.
【点评】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断.
举一反三:
【高清课堂:绝对值比大小 356845 典型例题2】
【变式1】比大小:
6
53-______763- ; -|-3、2|______-(+3、2); 0、0001______－1000; 1.38-&&______－1、384; －π______－3、14.
【答案】＞;=;＞;＞;＜
【变式2】(山东临沂)下列各数中,比－1小的数就是( )
A.0
B.1
C.－2
D.2
【答案】C
【变式3】数a 在数轴上对应点的位置如图所示,则a,-a,-1的大小关系就是( ).
A.-a ＜a ＜-1
B.-1＜-a ＜a
C.a ＜-1＜-a
D.a ＜-a ＜-1
【答案】C 类型三、绝对值非负性的应用
4、已知|2-m|+|n-3|＝0,试求m-2n的值.
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知,｜2-m｜≥0,｜n-3｜≥0,而它们的与为0.所以｜2-m｜＝0,|n-3|＝0.因此,2-m＝0,n-3＝0,所以m＝2,n＝3.
【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0,|n-3|≥0
所以|2-m|＝0,|n-3|＝0
即2-m＝0,n-3＝0
所以m＝2,n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4.
【总结升华】若几个数的绝对值的与为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|＝0时,则a ＝b＝…＝m＝0.
类型四、绝对值的实际应用
5.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面就是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数.检测结果(单位:克):-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由.
【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.
【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好.这个偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大.
【点评】绝对值越小,越接近标准、
举一反三:
【变式1】某企业生产瓶装食用调与油,根据质量要求,净含量(不含包装)可以有0、002L的误差.现抽查6瓶食用调与油,超过规定净含量的升数记作正数,不足规定净含量的升数记作负数.
+0、0018 -0、0023 +0、0025
-0、0015 +0、0012 +0、0010
(1)哪几瓶就是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0、002的有4瓶,分别就是检查结果为+0、0018,-0、0015,+0、0012,+0、0010的这四瓶.
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少,最接近规定的净含量.
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,小虫爬行的各段路程(单位:cm)依次记为:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10,在爬行过程中,如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻,那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【答案】小虫爬行的总路程为:
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) .
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) .。