信号与系统
第17讲 周期信号的傅里叶变换
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散 频谱，令周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信 号，从傅里叶级数在周期趋于无穷大的极限导出傅 里叶变换，由周期信号的离散谱过渡到连续谱，引 出频谱密度函数的概念
周期信号进行傅里叶变换的目的
f ( t )
F n . e j n 1t
n
根据傅里叶变换的线性和频移特性
F T [ f (t)] 2 Fn ( n1 )
n
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j) 2 Fn( n1)
n
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映 的是频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶 变换不同于其傅里叶系数，它不是有限值，而 是冲激函数，这表明在谐波频率点处,即无穷小 的频带范围内取得了无穷大的频谱值。
1.复指数信号的傅里叶变换
因为
1 2 ()
对于复指数
f (t) e j0t
由频移特性，可知
e j0t 2 ( 0)
2. 余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
对于正弦和余弦信号，根据欧拉公式，并利用
e j0t 2 ( 0)
得到其频谱函数分别为
cos0t [ ( 0 ) ( 0 )]
sin0t j[ ( 0 ) ( 0 )]
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F( j) 2 Fn ( n1)
n
周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的 冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐
波频率 n1处，其强度为相应傅里叶级数系数
Fn 的 2 倍。
4、周期单位冲激序列的傅里叶变换
T (t)
n
(t nT1)
F n . e j n 1t
5.周期信号的傅立叶级数与其单周期信
号 的傅立叶变换的关系
由FS
Fn
1 T1
T1
2 T1 2
f ( t ) . e j n 1t d t
取f(t)的一个周期 f 0 ( t ) ，其FT为 F0( j)
T1
F 0 ( j
)
2
T1 2
f 0 ( t ) . e jt d t
所以
Fn
周期信号不满足绝对可积的条件，但引入冲激 函数后，可对周期信号进行傅里叶变换，从频 谱密度的角度观察周期信号的离散频谱。
对周期信号进行傅里叶变换，将周期信号和非 周期信号的分析方法用傅里叶变换工具统一起 来。
周期信号的傅立叶变换
复指数信号的傅里叶变换 正弦余弦信号的傅立叶变换 一般周期信号的傅立叶变换 周期单位冲激序列的FS和FT 周期信号的FS与其单周期信号的FT的关系
n
1
e j n1 t
T1 n
F T [ T ( t ) ]
2
1 T1 n
(
n1 )
F ( j) FT [T (t)] 1 ( n1 )
n
(t)
(1)
F0( j)
1
0
T (t)
T1
FT
t
FS t F ( j)
1
0
1 Fn T1
1 0 1 21
21 1 0 1 21
1 T1
F 0(
j)
n1
4.周期信号的傅立叶级数与其单周期信号 的傅立叶变换的关系
f (t)
Fn
f0 (t)
Fn
1 T1
F0 (j)
n1
F0( j )
5、周期矩形脉冲的FS和FT的关系
f0 (t)
A
FT
t
周
202
期
重
f (t)
复
A
FS
t FT
T1
T1
F0 ( j)
A
2 0
2
Fn A
T1
F ( j)
F T [cos1 t] [ ( 1 ) ( 1 )]
( 1 )
F ( j) ( 1 )
1
0
1
FT[sin 1 t] j[ ( 1 ) ( 1 )]
jF ( j) ( 1 )
1
0
( 1 )
1
3.一般的周期信号的傅立叶变换
周期信号 f (t) 的指数形式的傅里级数展开式为
A S a (
T1
n1 )
2
FS
f ( t )
A
T1
n
Sa
n
2
1
.
e
j n 1t
FT
F ( j )
A1
n
Sa
n
12
(
n1 )
思考与练习
1 周期信号有几种表示形式？各是什么？ 2 周期信号既可以用傅里叶级数展开，又可以
用傅里叶变换表示，两者表示有何不同？
A1
5.周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系
F n
1 T1
T1
2 T1 2
f ( t ) . e j n 1t d t
T1
F 0 ( j
)
2
T1 2
f 0 ( t ) . e jt d t
Fn
1 T1F 0(j) Nhomakorabean1
F0 ( j)
A
S
a
2
由单脉冲联想FS的Fn
Fn
1 T1
F
0(
j)
n1