（1）正交化，取 b1 a1 ，
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
,
b3
a3
[b1 [b1
,a3 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
,ar , b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
9 9 9
由于
4 9
4 9
7 9
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1 9
8
8 9 0 0
9 9
4 9
4 9
9 7 9
9 4
9
9 4
9
9 7
0
0
1
9
所以它是正交矩阵．
例６ 验证矩阵
1 1 1 1
2 1
22 1 1
2 1
P
2 1
1 , 14
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
例３
设
a
1
1 2
,
a
2
1 3
,
a
3
4 1
,
试
用施密
1
1
0
特正交化过程把这组向量规范正交化.
解
取 b1 b2
a1;
a
2
[a2
,
b1]
2
b1
b1
1 3 1
4
6
1 2 1
br
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
（2）单位化，取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么e1,e2,L ,er 是 标准正交向量组。
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 .
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
4
18 2 3 26 2
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当[ x, y] 0时, 称向量x与y 正交. 由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若n维向量1,2, ,r是一组两两正交的 非零向量,则1, 2, , r线性无关.
2
0
2 1 2
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,
所以P是正交矩阵.
五、小结
1．将一组线性无关向量规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将向量组正交化，然
后再将其单位化． 2． A 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ; 2 AAT E; 3 A的列向量是两两正交的单位向量;
证明 设有 1,2 , ,r 使
11 22 L rr 0
以a1T 左乘上式两端,得
1
T 1
1
0
由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
性质2 : 正交向量组单位化后仍是正交向量组
叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。
n
1
T 1
2
T 1
n
T 1
1
T 2
2
T 2
n
T 2
1
T n
2
T n
n
T n
E
i
T j
ij
1, 当 i
0,
当i
j; j
i, j 1,2, ,n
定义5 若 P 为正交阵，则线性变换y Px 称为正
交变换．
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
1 0 1
.
e1,e2 ,e3即合所求.
1
例４已知
a1
1,
求一组
非零向量a
2
,
a
3
,
使
a1
,
a
2
,
1
a3 两两正交.
解 a2 ,a3应满足方程a1T x 0,即 x1 x2 x3 0.
它的基础解系为
1 0
1 0 , 2 1 .
1
1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化， 取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 [b1
,a3 , b1
] ] b1
1 8 4
2
9 8
9 1
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
解
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2
1 3 1 2 1
考察矩阵的第一列和第二列，
由于 1 1 1 1 1 1 0, 2 2 3 2
所以它不是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
5
3
1 1 ; 1
b3
a3
[a
3
,
b1]
2
b1
[a
3
,
b2]
2
b2
b1
b2
4 1 0
1
3
1 2 1
5
3
1 1 1
1 2 0.
1
再把它们单位化，取
1
e1
b1 b1
1 6
2 , 1
e2
b2 b2
1 3
1 1 , 1
e3 b3 b3
1 2
称 x, y为向量 x 与 y的内积 .
说明
1 nn 4维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算,如果x, y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 :
x, y xT y.
内积的运算性质
其中 x, y, z为n维向量,为实数 : (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
思考题
求一单位向量，使它与
1 1,1,1,1, 2 1,1,1,1, 3 2,1,1,3
正交．
思考题解答
解 设所求向量为x (a, b, c, d ),则由题意可得 :
a2 b2 c2 d 2 1, a b c d 0, a b c d 0,
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
2
2 2 2 2
e2
b2 b2
1 0,2,1,3
14
0,
2 , 14
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[ x, x] 0.
二、向量的长度及性质
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度 或范数 .
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ;
如果1，2 L m 是标准正交向量组，
则
i
,
j
1,i=j 0,i
j
（i,j= 1,2L m )
例如
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
就是一个标准正交向量组。
4、Schmidt正交单位化方法
设 a1,a2 L am 是线性无关向量组，构造新
的向量组 b1,b2 L bm ，使两个向量组等价 且 b1,b2 L bm 是正交向量组。
3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy
称为n维向量x与y的夹角 .（0 ) 例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解 cos
.
第三节 向量的内积和Schmidt正交化
一、内积的定义和性质 二、向量的长度和性质 三、正交向量组的概念和求法 四、正交矩阵和正交变换 五、小结 思考题
一、内积的定义及性质
定义1 设有n 维向量
x1
x
x2 ,
xn
y1
y
y2 ,
yn
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn
定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的行向量组 是标准正交向量组．