射里,它能传递一些什么呢?
结合律、交换律
思考题：
1. 设 A={所有非零实数 x},A 的代数运算是普通乘法，则以下映射
作成 A 到 A 的一个子集 A 的同态满射的是( B ).
A. x→-x C. x→ 1
x
B. x→ 1 x
D. x→5x
2.设<G，·>是一个群，那么，对于 a，b∈G，则 ab∈G 也是 G 中
易知, 是满射,但 能否保运算呢?下面利用 Z , 是交
换的特点,分六个情形来检验:
如果 x 03且 y 03 x y 03,
e是G的单位元。
（ii）须证(a)(a 1) (a 1)(a) e
事实上，(a)(a1) (aa1) (e) e
且
(a1)(a) (a1a) (e) e.
(a1)是(a)的逆元，即 ((a))-1 (a1)
例 设 A a,b,c 且 “ ” 为代数运算,
例 设G 一切奇数，而 “ ”为数的通常乘法, 又令 G e，其中规定 e e e , 作映射
G, G, ,其中 x G,x e, 易验证 是满同态.由于 G 是单元集,易知 G 是个群,但 G
并不是群, 定理 4 的逆命题不成立.
2．在例 3 中，0 a,当然3 - 6 12 a ，
而 0 是 Z中的零元（即单位元）， a 也是 A 中的单位元， 于是“单位元一定对应着单位元”这个结论对吗？
3．在例 3 中，5 c. 5 b. 也可以发现，5 的负元（逆元）
（ii）若a a, a1 (a)1
证明 （i）y G, 须证 ey ye y
事实上， 是满射，x G使x y ，于是我们有
ey (e)(x) (ex) (x) y. ye (x)(e) (xe) (x) y.
的可逆元，而且(ab)－1＝___________。 3.设 A={所有实数 x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成 A
到 A 的一个子集 A 的同态满射的是( C )。
A.x→10x C.x→|x|
B.x→2x D.x→-x
定理 设Байду номын сангаас 是两个代数体系 A, 到 A，
而运算表为
abc
aa bc
bbca
ccab
问题: A, 可否成群? 通过运算表也许能解决单位元
和逆元问题,但 A, 的结合律的检验,是相当费 事的,怎么办?
处理方案：另取一个群----整数加群 Z , 作映射: : Z A, 其中x a,当 x 03， x b, 当 x 13 x c,当 x 23
ea eae aa a,
同理ea ae a , 由a 的任意性 e 是单位元.
<ii> a A, 为满射,则 a A使 a a，而 A, 是群,
故 a 有逆元 a 1 ,设 a1 a1 ，须证 a1 是 a 的逆元。 事实上, a1a a1 a a1 a e e,
(1) 对同态(构)这种代数现象有透彻,深层的了解. (2) 熟悉一批常用的同态(构)的群的例.
本讲的重点和难点: 群是一个具体的对象,故具有特殊的性质.因此,熟悉群同态中代
数性质 “传递”到同态的有关问题是本讲的重点,掌握其定理的证明 方法是其难点.
一、群同态：
定义 设 G, 和 G， 都是群，如果存在映射
：G G 使a,b G, 都有
a b ab，
则称 是群同态映射；如果 是满射，则称 为群满
同态映射，（注：这是重要的一种同态，要特别关注）
简称 G 与 G 同态,并记为G ~ G ,此时也称G 是
G 的同态像.
说明： “满同态”具有“传递”作用.那么在群的满同态映
第5讲
第二章 群 论
§ 群的同态与群的同构 ( 2课时)
(Homomorphism and Isomorphism of the groups)
本讲的教学目的和要求: 对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构.通过对群的比较,
从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同,这无疑是在群 的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论,同时也是实践性很强的 基本方法.这里将具体的在群里讨论同态,同构,要求同学们掌握:
正是 5.而 c 的逆元也是 b . 那么“元素对应元素，逆元对应逆元” 这种定论成立吗？
上述问题归纳成下列的疑问：

如果 : G G 是群同态满射（即 G ~ G ）. 那么：
定理 设 : G G 是群同态满射. 那么
（i）若 e 是 G 的单位元， e e ，必是G 的单位元.
同理 aa1 e,a1 是的逆元,即 a 1 = a1 . 由上可知, A， 是个群.
思考题:
1．定理中,若将 A 与 A 的次序对调后,定理还 能成立吗? 即“ : A A是同态满射,若 A 是群时, A 也是群这样的结论正确吗?（见例 4）
一般的不一定；不能。
的同态满射,若 A, 是群,那么 A， 也一定是群.
证明 对 A， 而言, “ ”满足封闭性是显而易
见的,而由于 A, 中的 “ ” 满足结合律.可证 得 ""也满足结合律.下面须证 A， 有单位 元和 a A,a 有逆元.
<i> A, 是群,设 e 是单位元并设e e ,须证 e 是 A， 的单元.事实上,a A, 是满射 a A，使 a a,那么