2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）﹣6的绝对值等于（）A ．6B ．61C ．﹣61D ．﹣62．（3分）如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．3．（3分）“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149600000千米，149600000这个数用科学记数法表示为（）A ．1496×105B ．1496×108C ．1.496×105D ．1.496×1084．（3分）在平面直角坐标系中，将点P （2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P '的坐标为（）A ．（2，3）B ．（2，9）C ．（﹣1，6）D ．（5，6）5．（3分）不等式6x +1≤2x ﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形7．（3分）计算（﹣3x ）3的结果是（）A ．﹣27x 3B ．﹣9x 3C ．9x 3D ．27x 38．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A ．81B ．61C ．41D ．319．（3分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 上点F 处，折痕为EC ，若AB ＝3，BC ＝5，则AE 的长为（）A ．32B ．1C ．34D ．3510．（3分）如图，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB ，BD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线FG 平行于x 轴，与抛物线交于F ，G 两点，则线段FG 的长为（）A ．1+3B ．3C ．23D ．2+3二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，AB ∥CD ，BC ∥DE ，∠B ＝72°，则∠D ＝°．12．（3分）某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为．13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，中线BD，CE相交于点O，OB＝2，则BC的长为．14．（3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x个和y个，根据题意，可列方程组为．15．（3分）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）16．（3分）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）计算：（3﹣2）2+32+21．18．（9分）计算：42823169622+--+÷-++a aa a a a a ．19．（9分）如图，AB ＝CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，CE ＝BF ．求证：AE ＝DF ．20．（12分）某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为%，成绩等级为“及格”的男生人数为人；（2）被测试男生的总人数为人，成绩等级为“不及格”的男生人数人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．21．（9分）向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？22．（9分）如图，直线y ＝3x +6与反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ）（0＜n ＜6），过点P 作平行于x 轴的直线，交反比例函数的图象于点D ，交直线AB 于点E ，连接BD ．若S △BDE ＝32S △BOC ，求n 的值．23．（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线AB 、CD 交于点E ，AD 交⊙O 于点F ．（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）若AF ＝7，DC ＝22，求AE 的长．24．（11分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，tan A＝2，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交△ABC的直角边于点D，以PD为边向PD右侧作正方形PDEF．设点P的运动时间为t秒，正方形PDEF与△ABC 的重叠部分的面积为S．（1）用含t的代数式表示线段PD的长；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC中，AB＝AC，BC＝kAB，DA⊥AC交BC于点D，点E在BC的延长线上，且∠B ＝∠BAD+∠E，AF平分∠DAE交BE于点F，CG⊥AF垂足为G，探究线段CG与AD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD与∠CAE相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG与AD的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD＝∠EAC；（2）探究线段CG与AD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明．26．（12分）定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．2020年辽宁省大连市金州区、开发区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）﹣6的绝对值等于（）A ．6B ．61C ．﹣61D ．﹣6【解答】解：根据绝对值的性质，|﹣6|＝6，故选：A ．2．（3分）如图是由4个完全相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左边看是竖着叠放的2个正方形，故选：B ．3．（3分）“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149600000千米，149600000这个数用科学记数法表示为（）A ．1496×105B ．1496×108C ．1.496×105D ．1.496×108【解答】解：149600000这个数用科学记数法表示为1.496×108．故选：D ．4．（3分）在平面直角坐标系中，将点P （2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P '的坐标为（）A ．（2，3）B ．（2，9）C ．（﹣1，6）D ．（5，6）【解答】解：点P （2，6）向下平移3个单位长度，得到的点P '的坐标为（2，6﹣3），即（2，3），故选：A ．5．（3分）不等式6x +1≤2x ﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：6x+1≤2x﹣3，6x﹣2x≤﹣3﹣1，4x≤﹣4，x≤﹣1，故选：D．6．（3分）既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．7．（3分）计算（﹣3x）3的结果是（）A．﹣27x3B．﹣9x3C．9x3D．27x3【解答】解：（﹣3x）3＝﹣27x3，故选：A．8．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A ．81B ．61C ．41D ．31【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中随机摸出一个，两次都摸到红球的结果数为2，所以随机摸出一个，两次都摸到红球的概率＝122＝61．故选：B ．9．（3分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 上点F 处，折痕为EC ，若AB ＝3，BC ＝5，则AE 的长为（）A ．32B ．1C ．34D ．35【解答】解：∵将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 上点F 处，∴CF ＝BC ＝5，EF ＝BE ，∵CD ＝AB ＝3，∠D ＝90°，∴DF ＝4，∴AF ＝5﹣4＝1，设AE ＝x ，∴BE ＝EF ＝3﹣x ，∵∠A ＝90°，∴AE 2+AF 2＝EF 2，∴x 2+12＝（3﹣x ）2，解得：x ＝34，∴AE ＝34，故选：C ．10．（3分）如图，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB ，BD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线FG 平行于x 轴，与抛物线交于F ，G 两点，则线段FG 的长为（）A ．1+3B ．3C ．23D ．2+3【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +3）（x ﹣1），∴令x ＝0，则y ＝﹣3，∴C （0，﹣3），令y ＝0，则（x +3）（x ﹣1）＝0，∴x ＝﹣3或1，∴B （1，0），∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，∴对称轴为x ＝﹣1，∵CD ∥AB ，∴C 、D 两点关于x ＝﹣1对称，∴D （﹣2，﹣3），设BD 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则⎩⎨⎧-=+-=+320n m n m ∴⎩⎨⎧-==11n m ，∴BD 的解析式为y ＝x ﹣1，∴E （0，﹣1），令y ＝﹣1，则y ＝x 2+2x ﹣3＝﹣1，解得，x ＝﹣1±3，∴F （﹣1﹣3，﹣1），G （﹣1+3，﹣1），∴FG ＝（﹣1+3）﹣（﹣1﹣3）＝23，故选：C ．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，AB ∥CD ，BC ∥DE ，∠B ＝72°，则∠D ＝108°．【解答】解：∵AB ∥CD ，∠B ＝72°，∴∠C ＝180°﹣∠B ＝108°，∵BC ∥DE ，∴∠D ＝∠C ＝108°．故答案为：108．12．（3分）某校随机抽查了10名参加学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：成绩（分）47484950人数（人）1234则这10名同学的体育成绩的平均数为49．【解答】解：平均数＝491045034924847=⨯+⨯+⨯+故答案为：49．13．（3分）如图，△ABC 是等边三角形，中线BD ，CE 相交于点O ，OB ＝2，则BC 的长为23．【解答】解：∵BD 和CE 为△ABC 的中线，∴点O 为△ABC 的重心，∴OD ＝21OB ＝21×2＝1，∴BD ＝3，∵△ABC 为等边三角形，∴BD ⊥AC ，∠BCD ＝60°，∴CD ＝33BD ＝3，∴BC ＝2CD ＝23．故答案为23．14．（3分）我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中有一个“二果问价”问题：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱若设买甜果、苦果的个数分别是x 个和y 个，根据题意，可列方程组为．【解答】解：设买甜果、苦果的个数分别是x 个和y 个，由题意可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+999749111000y x y x 15．（3分）某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB ∥DC ，∠BAE ＝90°，根据图中的数据计算CD 的长为22cm （精确到1cm ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：作DM ⊥AB 于M ，如图所示：在Rt △BCN 中，BC ＝CN ÷cos37°＝50÷0.8＝62.5（cm ），∴BN ＝BC •sin37°＝62.5×0.80≈37.5（cm ），∴AN ＝AB +BN ＝34+37.5＝71.5cm ，∵∠DAE ＝45°，∠BAE ＝90°，∴∠DAM ＝45°，∴△ADM 是等腰直角三角形，∴AM ＝DM ＝50cm ，∴CD ＝MN ＝AN ﹣AM ＝71.5﹣50≈22（cm ）；故答案为：22．16．（3分）“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为37升．【解答】解：由图象可知：当用时1小时时，油量剩余45升，行驶了30公里；当用时在1﹣2.5小时之间时，可得：每小时行驶的里程为1001-5.230-180=公里，每小时耗油量为81-5.233-45=升∴当用时1+1＝2小时时，此时刚好行驶了130公里，此时油箱里的剩油量为：45﹣8×1＝37升，故答案为：37．三、解答题（本题共10小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）计算：（3﹣2）2+32+421．【解答】解：原式＝9﹣62+2+42+22＝11．18．（9分）计算：42823169622+--+÷-++a aa a a a a 【解答】解：原式＝423)4(2)4)(4()3(2+-+-∙-++a aa a a a a ＝424)3(2+-++a aa a ＝46+a 19．（9分）如图，AB ＝CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，CE ＝BF ．求证：AE ＝DF ．【解答】证明：∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴∠DFC ＝∠AEB ＝90°，又∵CE ＝BF ，∴CE ﹣EF ＝BF ﹣EF ，即CF ＝BE ，∵AB ＝CD ，∴Rt △DFC ≌Rt △AEB （HL ），∴AE ＝DF ．20．（12分）某校为了解七年级男生“跳绳”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率优秀良好及格100.2不及格0.1根据以上信息，解答下列问题：（1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为30%，成绩等级为“及格”的男生人数为10人；（2）被测试男生的总人数为50人，成绩等级为“不及格”的男生人数5人；（3）若该校七年级共有570名男生，根据调查结果，估计该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数．【解答】解：（1）被测试男生总数有10÷0.2＝50（人），成绩等级为“优秀”的男生人数有50×30%＝15（人），成绩等级为“优秀”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为5015×100%＝30%；成绩等级为“及格”的男生人数为10人；故答案为：30，10；（2）根据（1）可得：被测试男生总数是50（人），成绩等级为“不及格”的男生人数有50×0.1＝5（人），故答案为：50，5；（3）根据题意得：570×（1﹣30%﹣0.2﹣0.1）＝228（人），答：该校七年级男生成绩等级为“良好”的学生人数有228人．21．（9分）向阳村2017年的人均收入为30000元，2019年的人均收入为36300元．（1）求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2020年该村的人均收入是多少元？【解答】解：（1）设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x ，依题意，得：30000（1+x ）2＝36300，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）36300×（1+10%）＝39930（元）．答：预测2020年该村的人均收入是39930元．22．（9分）如图，直线y ＝3x +6与反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ．（1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）在y 轴上有一动点P （0，n ）（0＜n ＜6），过点P 作平行于x 轴的直线，交反比例函数的图象于点D ，交直线AB 于点E ，连接BD ．若S △BDE ＝32S △BOC ，求n 的值．【解答】解：（1）把A （1，m ）代入y ＝3x +6得m ＝3+6＝9，∴A （1，9）；把A （1，9）代入y ＝xk得k ＝1×9＝9，∴反比例函数解析式为y ＝x9（x ＞0；（2）当y ＝0时，3x +6＝0，解得x ＝﹣2，则B （﹣2，0）；当x ＝0时，y ＝3x +6＝6，则C （0，6）；∵DP ∥x 轴，∴D 、E 点的纵坐标都为n ，∴E （36-n ，n ），D （n 9，n ），∵S △BDE ＝32S △BOC ，∴21×n ×（n 9﹣36-n ）＝32×21×2×6，整理得n 2﹣6n ﹣3＝0，解得n 1＝3+23，n 2＝3﹣23，∵0＜n ＜6，∴n 的值不存在．23．（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线AB 、CD 交于点E ，AD 交⊙O 于点F ．（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）若AF ＝7，DC ＝22，求AE 的长．【解答】（1）证明：连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OC ，又∵CD ⊥AD ，∴AD ∥OC ，∴∠CAD ＝∠ACO ，∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠CAD ＝∠CAO ，即AC 平分∠DAB ；（2）如图，连接BC ，CF ，BF ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∠AFB ＝90°，∴∠CAB +∠CBA ＝90°，∠DAC +∠DCA ＝90°，由（1）知，∠DAC ＝∠CAO ，∴∠CBA ＝∠DCA ，∵四边形ABCF 是圆内接四边形，∴∠AFC +∠CBA ＝180°，∵∠AFC +∠DFC ＝180°，∴∠DFC ＝∠CBA ＝∠DCA ，由（1）知，∠ADC ＝∠CDF ＝90°，∴△CDF ∽△ADC ，∴DF AF CDAD CD CD DF +==，∴DFDF +=72222∴DF 2+7DF ＝8，∴DF ＝1（负值舍去），∴AD ＝AF +DF ＝7+1＝8，∴AC ＝2622=+CD AD ∵∠DAC ＝∠CAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，∴AD ACAC AB =∴82626=AB ∴AB ＝9，∵∠AFB ＝90°，∠ADC ＝90°，∴∠AFB ＝∠ADC ，∴BF ∥DE ，∴AF AD AB AE =789=AE∴AE ＝772．24．（11分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，tan A ＝2，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向点B 运动，过点P 作PD ⊥AB 交△ABC 的直角边于点D ，以PD 为边向PD 右侧作正方形PDEF ．设点P 的运动时间为t 秒，正方形PDEF 与△ABC 的重叠部分的面积为S ．（1）用含t 的代数式表示线段PD 的长；（2）求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，过点C 作CH ⊥AB 于H ．则∠AHC ＝∠CHB ＝90°，设AH ＝m ．在Rt △ACH 中，AHCH＝tan A ＝2，∴CH=2AH ＝2m ，∵∠A +∠ACH ＝90°，∠ACH +∠BCH ＝∠ACB ＝90°，∴∠BCH ＝∠A ，在Rt △BCH 中，CHBH＝tan ∠BCH ＝2，∴BH ＝2CH ＝4m ，∴AH +HB ＝AB ，∴5m ＝5，∴m ＝1，∵四边形PDEF 是正方形，∠APD ＝∠DPF ＝90°，①当0＜t ≤1时，如图1中，ADPA ＝tan A ＝2，∴PD ＝2PA ＝2t ．②当1＜t ＜5时，如图2中，∵∠A +∠B ＝90°，∠B +∠PDB ＝90°，∴∠PDB ＝∠A ，在Rt △DPB 中，PD PB ＝tan ∠BDP ＝2，∴PD ＝21PB ＝21（5﹣t ）＝﹣21t +25．（2）当点E 落在BC 上时，如图3中，由题意EF ＝PF ＝PD ＝2t ，BF ＝2EF ＝4t ，∵AP +PF +BF ＝AB ，∴t +2t +4t ＝5，∴t ＝75，①当0＜t ≤75时，重叠部分是正方形PDEF ，如图1中，S ＝（2t ）2＝4t 2．②当75＜t ≤1时，重叠部分是五边形PDMNF ，如图4中，EF ＝PD ＝PF ＝2t ，在Rt △BNF 中，FN ＝21BF ＝21（5﹣3t ），∴EN ＝EF ﹣FN ＝2t ﹣21（5﹣3t ）＝27t ﹣25，在Rt △EMN 中，EM ＝2EN ＝7t ﹣5t ，∴S ＝S 正方形PDEF ﹣S △EMN ＝4t 2﹣41（7t ﹣5）2＝﹣433t 2+235t ﹣425．③当1＜t ＜5时，重叠部分是四边形PDNF ，如图2中，S ＝S △BDP ﹣S △BNF ＝21×（5﹣t ）×21（5﹣t ）﹣21×（25﹣2t ）×21（25﹣2t ）＝163t 2﹣815t +1675，综上所述，S ＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+-≤<-+-≤<)51(1675815163)175(425235433750(4222t t t t t t t t ．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）、（2）题．数学课上，老师出示了这样一道题：△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝kAB ，DA ⊥AC 交BC 于点D ，点E 在BC 的延长线上，且∠B ＝∠BAD +∠E ，AF 平分∠DAE 交BE 于点F ，CG ⊥AF 垂足为G ，探究线段CG 与AD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAD 与∠CAE 相等．”小强：“通过观察和度量，发现图中还有其它相等线段．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段CG 与AD 的数量关系．”…老师：“此题还有其它解法，同学们课后可以继续探究，互相交流．”…（1）求证：∠BAD ＝∠EAC ；（2）探究线段CG 与AD 的数量关系（用含k 的代数式表示），并证明．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∵∠ACB 是△ACE 的外角，∴∠ACB ＝∠CAE +∠E ，∵∠B ＝∠BAD +∠E ，∴∠BAD ＝∠EAC ；（2）解：CG ＝2k AD ，理由如下：作AN ⊥CD 于N ，DH ⊥AG 于H ，设∠BAD ＝α，则∠EAC ＝α，∵AF 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ＝21∠DAE ＝21（∠DAC +∠EAC ）＝45°+21α，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝21（180°﹣∠BAC ）＝21（90°﹣∠BAD ）＝45°﹣21α，∴∠ADF ＝∠B +∠BAD ＝45°+21α，∴∠ADF ＝∠DAF ，∴FA ＝FD ，∵∠DAC ＝90°，∴∠FAC ＝90°﹣∠DAF ，∠FCA ＝90°﹣∠ADF ，∴∠FAC ＝∠FCA ，∴FA ＝FC ，∴DF ＝CF ，在△DFH 和△CFG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CF DF CFG DFH CGF DHF ，∴△DFH ≌△CFG （AAS ），∴CG ＝DH ，∵AB ＝AC ，AN ⊥BC ，∴BN ＝21BC ＝2k AB ，∠ADH ＝90°﹣∠DAF ＝45°﹣21α，∴∠ADH ＝∠B ，又∠AHD ＝∠ANB ，∴△ADH ∽△ABN ，∴2k AB BN AD DH ==∴2k AD CG =即CG ＝2k AD．26．（12分）定义：把函数C 1：y ＝ax 2﹣6ax +5a （a ≠0）的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新函数C 2的图象，我们称C 2是C 1关于点P 的相关函数．C 2的图象的对称轴为直线x ＝h ．例如：当m ＝1时，函数y ＝（x +1）2+5关于点P （1，0）的相关函数为y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5．（1）填空：h 的值为2m ﹣3（用含m 的代数式表示）；（2）若a ＝1，m ＝1，当t ﹣1≤x ≤t 时，函数C 2的最大值为y 1，最小值为y 2，且y 1﹣y 2＝3，求t 的值；（3）当m ＝2时，C 2的图象与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴相交于点D ．把线段BD 绕原点O 顺时针旋转90°，得到它的对应线段B ′D ′．若线段B ′D ′与C 2的图象有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【解答】解：（1）y ＝ax 2﹣6ax +5a ，令y ＝0，则x ＝5或1，函数对称轴为直线x ＝3，由中点公式得：h +3＝2m ，故h ＝2m ﹣3，故答案为：2m ﹣3；（2）a ＝1，C 1：y ＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4，顶点为（3，﹣4），m ＝1时，C 2的顶点为（﹣1，4），C 2：y ＝﹣（x +1）2+4＝﹣x 2﹣2x +3，①当t ≤﹣1时，y 随x 的增大而增大，y 1﹣y 2＝﹣t 2﹣2t +3﹣[﹣（t ﹣1）2﹣2（t ﹣1）+3]＝3，解得：t ＝﹣2；②当t ﹣1＜﹣1＜t 时，即﹣1＜t ＜0时，分两种情况：（Ⅰ）当﹣1﹣（t ﹣1）≥t ﹣（﹣1）时，即﹣1＜t ≤﹣21时，y 1﹣y 2＝4﹣[﹣（t ﹣1）2﹣2（t ﹣1）+3]＝3，解得：t ＝3±（舍去）（Ⅱ）当﹣1﹣（t ﹣1）＜t ﹣（﹣1）时，即﹣21＜t ＜0时，y 1﹣y 2＝3＝4﹣（t 2﹣2t +3）＝t 2+2t +1，解得：t ＝﹣13±（舍去）；③当t ﹣1≥﹣1时，即t ≥0时，y 随x 的增大而减小，y 1﹣y 2＝[﹣（t ﹣1）2﹣2（t ﹣1）+3]﹣[﹣t 2﹣2t +3]＝3，解得：t ＝1；综上，t ＝﹣2或t ＝1；（3）当m ＝2时，C 1：y ＝ax 2﹣6ax +5a ＝a （x ﹣3）2﹣4a ，∴C 2的表达式为：y ＝﹣a （x ﹣1）2+4a ，当y ＝0时，x ＝﹣1或3，当x ＝0时，y ＝3a ，∴点A 、B 、D 的坐标分别为：（3，0）、（0，1）、（0，3a ）；∵线段BD 绕原点O 顺时针旋转90°，∴点B ′的坐标为（0，3），点D ′的坐标为（3a ，0）．①当a ＞0时，分两种情况：（Ⅰ）当点D ′在点A 的右侧（含点A ）时，线段B ′D ′与C 2的图象有公共点，如图1，∴3a ≥3，解得a ≥1；（Ⅱ）当点D ′在点A 的左侧，且点D 在点B ′的下方（含点B ′）时，线段B ′D ′与C 2的图象有公共点，如图2，∴3a ≤1，∴0＜a ≤31；②当a ＜0时，点D ′在点B 的左侧（含点B ）时，线段B ′D ′与C 2的图象有公共点，如图3，∴3a ≤﹣1，解得：a ≤-31；综上，a ≤﹣31或0＜a ≤31或a ≥1；。