简单线性规划问题的几种简单解法
依不拉音。
司马义（吐鲁番市三堡中学，838009）
“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。
简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。
简单线性规划问题的标准型为：
1112220(0)0(0),(),0(0)
m m m A x B y C A x B y C m N z Ax By A x B y C +++≥≤⎧⎪++≥≤⎪∈=+⎨⎪⎪++≥≤⎩约束条件 目标函数 ，
下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。
1. 图解法
第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行
区域的方法。
⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c 不为0）的某侧任取一点，把
它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。
⑵B 判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C ＞0（＜０）
表示的区域在直线Ax+By+C＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C＝0的下方。
（即若B与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方）
用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。
第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这个可以用下面的两种办法解决。
⑴y轴上的截距法：若b>0，直线y a
b x
z
b
=-+所经过可行域上的点使其y轴上的截距最大（最小）时，便是z取得最大值（最
小值）的点；若b<0，直线y a
b x
z
b
=-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，是z取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。
例1．设x,y满足约束条件
x y
y x
y
+≤
≤
≥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1
,
,
,
求z x y
=+
2的最大值、最
小值。
解：如图1作出可行域，因为y的系数1大于0，目标函数z x y
=+
2表示直线y x z
=-+
2在y轴上的截距，当直线过A（1，0）
时，截距值最大z
max =⨯+=
2102，当直线过点O（0，0）时，截距
值最小min 2000z =⨯+=。
y y=x
x+y-1=0
A(1,0)
O x
图1
例2．若变量,x y 满足约束条件
10
20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩ ，求2z x y =-的最大值和
最小值。
解：如图作出可行域，y 的系数-2
小于0，过点A(1,-1)时在y 轴上的距
最小，目标函数2z x y =-取得最大值，所以max 12(1)3z =-⨯-=；过点
B （-1,1）时在y 轴上的截距最大，目标函数2z x y =-取得最，所以min 1213z =--⨯=-。
⑵法向量法：目标函数z Ax By =+ 的法向量为（A ，B ），它垂直
于目标函数直线的向量。
当目标函数的值线沿目标函数法向量方向平移时，目标函数值逐步增加，与可行区域最后（最先）相交
的点上取最大值（最小值）；当等值线沿目标函数法向量反方向平行移动时，目标函数值逐步减少，与可行区域最后（最先）相交的点上取最小值（最大值）。
例3．点P(x, y)在以A(2, 1)、B(–1, –6)、C(–3, 2)为顶点的三角形区域（包括边界）内，求z= 4x–3y的最大值与最小值。
解：目标函数z= 4x–3y的法向
量为（4，-3），目标函数的直线沿
法向量的方向平移时，最先与可行
域在C点上相交，最后在B点上相
交（因为目标函数的等值线从左上
角平移过来）。
所以目标函数在点C（-3,2）上取最小值
min 4(3)4218
z=⨯--⨯=-，在点B（-1，-6）上取最大值
max 4(1)4(6)14
z=⨯--⨯-=。
图解法虽然直观、形象，它容易使人具体地认识线性规划模型的求解过程，但是，这里难点至少有二；一是必要考虑y的系数b的正负，否则容易得出反相的结论；二是要注意直线束的倾
斜程度，尤其，要注意与约束条件中的一条或两条只想的倾斜程度的关系，即斜率大小对直线倾斜程度的影响。
其中，当斜率为负值时，是学生最感头疼的，也是学生最易出错的。
为此，下面介绍通过向量数量积解决线性规划问题的方法，这种方法尽量避开以上两个难点，使解法更直观，更简单，更不易出错。
2. 向量的数量积法
把z Ax By =+看成平面内的向量(,)OM A B =与(,)ON x y =的数量积，即cos ,z OM ON OM ON OM ON Ax By ==<>=+。
因为OM 为定值，所以当且仅当cos ,ON OM ON <>取最大值（最小值）时，z 取最大值（最小值），即当且仅当ON 在OM 上的射影取最大值（最小值）时，z 取最大值（最小值）（注意：在OM 正方向上的射影是正值，在OM 负方向上的射影是负值）。
这样目标函数z Ax By =+在约束条件下的最大值（最小值）问题，就转化为研究点O 与可行域内的任意一点N 所组成的向量ON 在OM 上的射影的最大值（最小值）问题。
即线性规划最大值（最小值）问题就转化为一向量在另一向量上的射影的最大值（最小值）问题。
例4．若实数x ，y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩
，求z x y
=-+的最小值。
解：设z x y =-+是向量(1,1)OM =-与(,)ON x y =的数
量积。
因为2OM =cos ,ON OM ON <>取最小值时z 取最小值，即当且仅当ON 在OM 上的射影OP 取最小值时，取得最小值。
如图，当点N 与点B （4，-2）重合时，ON 在OM 负方向上的射影OP 取最小值，所以最小值为min 426z =--=-。
3. 顶点法
目标函数的最优解肯定在可行区域的顶点上（这个命题可以证明）。
因此，首先求约束表示的可行区域顶点的坐标，代入目标函数，然后从计算出来的几个函数值里面选最大（或最小）的即可。
把约束条件中的每两个不等式组成一个方程组，方程组的解是两条边界线的交点。
有些交点肯能不属于可行区域，所以每个交点必须代入约束条件检验不等式是否成立。
若不成立排除这个交点（它不属于可行区域）；若成立它是可行区域的顶点。
例5. 求满足线性约束条件23230
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最
大值和最小值。
解：先找出约束条件表示的可行区域的顶点。
2323x y x y +=⎧⎨+=⎩，230x y x +=⎧⎨=⎩，230x y y +=⎧⎨=⎩，230x y x +=⎧⎨=⎩，230x y y +=⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩
的解分别为A （1,1），B （0,3），C （32，0），D （0，32
），E （3,0），F （0,0）。
其中B 和E 不满足约束条件，所以排除。
可行区域是以点A ，C ，D ，
F 为顶点的四边形。
112A z =+=，33022C z =+=，33022
D z =+=，000F z =+= 所以，目标函数z x y =+在A （1,1）上取最大值max 112z =+=，在F
（0,0）上取最小值min 000z =+=。
（提醒：若约束条件包含不等式的个数不超过3，边界线的交点属于可行区域。
所以不需检验；若不等式的个数超过3，必须检验）。