1、温度模型1.1Introduction1.2Assumption浴缸中水从中心到边缘，温度均匀下降1.3Model building1.3.1 初始状态温度分布在初始条件下，不考虑时间对浴缸中水温的影响，以浴缸中心为球心，围绕球心建立温度梯度函数，假设在半径相同的一个球面上温度相同，而且从中心到浴缸边缘温度下降是均匀的，建立T-r 温度函数。
r l T ⋅=其中，l 为沿着半径，单位长度温度下降速率。
我们取球心温度为C T 391=,浴缸壁取平均室温C T 180=，cm r 40=， 在MATLAB 的帮助下拟合初始温度函数r T ⨯=525.0r TFig.1 初始温度模型1.3.2动态温度模型在初始状态下，取和球心距离相同的点构成等温面，随着时间的流逝，我们考虑在每个等温面，温度随时间降低速率一定，定义该速率为0v ，建立t rT -)(函数 t v r T T ⋅-=0)(1.4模型检验2、求最优浴缸形状3、优化模型3.1 Introduction3.2 Assumptions不考虑浴缸中水对周围环境的影响给浴缸中加入热水，可以在极端的时间内使其均匀不考虑水蒸发所造成的热量损失不考虑水密度随着温度的变化3.3 Model Building3.3.1 Newton's law of cooling牛顿冷却定律是温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律。
当物体表面与周围存在温度差时，单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比，比例系数称为热传递系数。
其表达式为Φ=q A=Ah Δt=Δt/（1/hA)q=hΔt温差Δt=|tw-tf|其中的1/hA 称为对流传热热阻q 为热流密度h 为物质的对流传热系数Φ为传热功率（或者说是单位时间内的传热量）A 为传热面积一个热的物体的冷却速度与该物体和周围环境的温度差成正比。
3.3.2首先，仍然不考虑人对浴缸中水温度的影响，给定一个盛满水的浴缸，水温是适合洗澡的最高温度T2，在自然条件下冷却为适合洗澡的最低温度T1。
结合牛顿冷却定律和热交换过程，可得t T T Ah T T cm )()(1212-=- ()其中，t 该冷却过程的时间，化简得到Ahcm t = 由上式，可知冷却时间与传热面积成反比例，和水的质量m 成正比，说明只要浴缸的容积和表面积确定，冷却时间就可以确定了。
当水冷却后，我们给浴缸加入热水让浴缸中的岁保持原来的温度，假定热水的温度为3T ,加入水的质量为M 。
根据能量守恒定律d e c r e a add Q Q = （8）其中增加的热量来源加的水带来的热量)(23T T cM Q add -=损失的热量包含加水时浴缸溢出水带走的热量overflow Q 和自然冷却流失的热量natural Q其中，溢出水带走的热量为2cMT Q overflow = （9）自然冷却损失的热量为)(12T T cm Q natual -= （10）把公式（9）和（10）带入能量守恒公式（8）中得)()(12223T T cm cMT T T cM -+=-化简得23122)(T T T T m M --= （11） 为了让浪费的水最少，我们必须让所加水的温度3T 最大，这里我们取沸点时水的温度100摄氏度，需要消耗的水最少为M4、加速蒸发模型4.1Introduction4.2Assumption人在浴缸里洗澡时，可以把人看作不同体积的长方体，其体积为0V人在浴缸里的运动，仅考虑为对液体表面空气流速的影响，水温在浴缸中分布均匀水的密度随着温度的变化可以忽略4.3Model building4.3.1 蒸发速率单位时间内单位面积上蒸发出来的水汽的质量称为蒸发速率。
其单位为克/平方厘米·秒(成分)。
蒸发速率的大小,与蒸发面上的温度T 、压力P 、湿度H 、风速v 等有关。
根据相关资料[1]可得非自然条件下水的蒸发速率公式为e d c b H v P at w = （1）其中通过水蒸发实验研究[1],得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-===032682.1639748.0502198.0619322.1009424.0e d c b a 对于整个洗澡过程，水表面平均温度C T ︒-=372,标准大气压a P P 101325=，房间中的湿度在0.5~0.6之间，这里我们取0.55RH .我们得到蒸发速率关于风速的v w -函数。
在MATLAB 中拟合为图1Fig.1 The rate of evaporatev(m/s)w (g /c m 2s ) The rate of evaporate4.3.2人体简化人在洗澡过程中，只考虑他的体积V ，我们将其等效为一个长方体。
而人的运动全部转化为水表面与空气的相对运动，即就是增加空气和水表面的流动速率v 。
在浴缸中，表面蒸发速率会随人运动的剧烈程度而增大。
根据相关资料得知，人洗澡时耗费能量int Q 为100~200cal ，这些能量全部转化为水的动能。
可简单表示为21i n t 21v m Q =化简可得1i n t 2m Q v =而人浴缸中时会占据一定的水的体积，因此此时剩余水的体积为01V V V -=所以剩余水的质量为11V m ⋅=ρ （2）一个正常人的体积大概为0.050立方米到0.060立方米，在MATLAB 的帮助下，我们可以得到水表面流动速率v 为[ ]由上表可以看出，人运动越剧烈，水表面空气流动速率越快，人体积越大，水表面空气流动速率越快，导致水面的蒸发速率加快。
4.3.3能量守恒模型当人在浴缸中运动强度加剧时，液体表面的蒸发速率w 会随着增大，因而在这个过程中蒸发带走的热量会增大，把表1中数据带入公式（1），得到蒸发速率如下4.3.3能量守恒假设加入水的温度为3T ,质量为2M ,我们结合能量守恒定律和牛顿冷却定律公式得t s w t T T hA T T cm ⋅⋅+-=-)()(12121化简得sw T T hA T T cm t ⋅+--=)()(12121取C T 392=,C T 351=,1000=h ,并且我们已经在公式（）得到212.3m s =，结合公式(2)，得到冷却到最低温度所需时间为可以看出，w 越大，即就是人在浴缸里运动越剧烈，冷却所需时间就越短，也就是浴缸散热越快，我们加热水的时间间隔就会变短。
同样的，人的体积越大，剩余水的质量1m 就会越少，冷却所需的时间也会变短，也就是浴缸散热越快，我们加入热水的时间间隔就会变短，也就是说一个正常成年人在洗澡时消耗100~200cal ，冷却时间大概是3min 。
所以蒸发耗热为等浴缸中水冷却到一定程度，我们往浴缸中加入热水，假设所加入热水的质量为2M ,温度为3T ,建立能量守恒表达式eva Q T cM T T cm T T cM ++-=-22121232)()(化简得)2()(231212T T c Q T T cm M eva -+-=可以分析得到，3T 越大，2M 越小，所以我们取1003=T , 结合表（3），得到一个循环过程中加入热水的质量为4.4加水方案当人开始洗澡时，他的体积和运动对加入方案由如下影响：如果人质量大概为50~60kg 时，大概3.6分钟加一次100C 的热水，加入热水的量大概30kg 左右。
保持洗澡人运动的程度，随着人的体积增大，加水周期会变短，加水量会变少；保持人体积不变，洗澡人运动越剧烈（这里表示为人所消耗的内能）加水周期会变小，加水量会稍微变少(见表4)5.泡泡浴模型5.1Itroduction5.2Assumption5.3Model building5.3.1洗澡时，加入泡泡，可以减少水的热量流失，有很好的保温效果。
这里我们考虑泡泡主要影响水表面蒸发速率，由于液体表面蒸发带走的热量很少，加入泡泡时，我们就可以考虑没有蒸发散热。
即0=eva Q这样散失的热量就是自然冷却的情况，我们表示如下212121)()(t T T hA T T cm -=-化简为hAcm t 12= 其中1m 为人进浴缸后浴缸中水的质量，根据公式（2），我们用MATLAB 求得2t 随人体积的变化如下表比较表4和表5，可以看出，泡泡有很好的保温效果。
5.3.2 能量守恒考虑泡泡只对水表面蒸发速率的影响很小，这里我们将其忽略不记，我们把能量表达式写为22121232)()(T cM T T cm T T cM +-=-化简得2312122)(T T T T m M --= 经过求解得到对于不同质量人，每次需要加水的质量可表示为下表/Kreader/CatalogViewPage.aspx?dbCode=CJFQ&filename= DYJS201005018&tablename=CJFD2010&compose=&first=1&uid=WEEvREcw SlJHSldTTGJhYlRqbGRaWWxzUFg3eDZwR3l4M0xSRHk1WjR2VmwybVUw bmFIR0JLMTZHczRwbzhQRmxJcz0=$9A4hF_YAuvQ5obgV AqNKPCYcEjKen sW4IQMovwHtwkF4VYPoHbKxJw!!。