《推理与证明》单元测试题考试时间120分钟 总分150分一．选择题（共50分）1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1an －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．923. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ）A ．01B ．43C ．07D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ）1> ②③lg2>A ．0 B ．1 C ．2D ．35.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有()()()22222cb b ac a +++=+，从而得其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）A．12 B．12+ C6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。

第2件 第3件第1件A ．100B ．110C ．120D ．1307.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)8.把正数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n =1625，则n=（ ）A ．833B ．820C ．832D ．539.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =，若31241234a a a a k ====，则()412i i S ih k ==∑ 412341()1234ii ih h h h h =⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭∑注：,类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,若31241234S S S S K ====,则()41ii iH ==∑ ( )A.4V KB. 3V KC. 2VK D. V K10. 函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C （C ⊆A ）有x+t ∈A ，使得 f （x+t ）≤f （x ）恒成立，则称f （x ）为C 上的t 度低调函数．已知定义域为[0，+∞）的函数f （x ）=2(3)mx --，且f （x ）为[0，+∞）上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B 。

[)1,+∞C ．(],0-∞D ．(],0-∞[)1,+∞二．填空题（共25分）11.用反证法证明命题“存在a 、b ∈R ，a 2+b 2<2（a ﹣b ﹣1）”，正确的反设为__________． 12. 观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝______________ (n ∈N *，用含n 的代数式表示) 13. 若定义在区间D 上的函数f （x ）对D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足[f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n ）]≤f （），则称f （x ）为D 上的凸函数．已知函数y=sinx 在区间（0，π）上是“凸函数”，则在△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值是 ______．14. 在面积为S 的正三角形ABC 中，E 是边AB 上的动点，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，当点E 运动到离边BC 的距离为△ABC 高的时，△EFB 的面积取得最大值为．类比上面的结论，可得，在各棱长相等的体积为V 的四面体ABCD 中，E 是棱AB 上的动点，过点E 作平面EFG ∥平面BCD ，分别交AC 、AD 于点F 、G ，则四面体EFGB 的体积的最大值等于 ______V ．15.以下是拉面师一个工作环节的数学模型：在数轴上截取与闭区间]1,0[对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1434和都变成21，原来的坐标21变成1，等等）.那么原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的原坐标是 ；原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点， 在第n 次操作完成后（1 n ），恰好被拉到与1重合的点所对应的原坐标为 .（用含n 的式子表示）三．解答题（共75分）11216. 用数学归纳法证明：+++…+＞（n ＞1，且n ∈N *）．17. 用分析法证明：若a ＞0，则18. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1， 求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．19. 如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差． （1）证明：一个非常数数列的等差数列不可能同时也是等方差数列； （2）若正项数列{a n }是首项为2、公方差为2的等方差数列，且存在实数,m 使得等式122()(21)++3n n n m n a a a n N *+++∈444=对任意成立，求m 的值，并证明等式成立。

20. 如图1所示为抛物线的一个几何性质：过抛物线y 2=4x 的焦点F 任作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则在x 轴上存在定点M （﹣1，0），使直线MF 始终是∠AMB 的平分线；如图2所示，对于椭圆，设它的左焦点为F ；请写出一个类似地性质；并证明．21.如图，),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C ：)0(32≥=y x y 上的n 个点，点)0,(i i a A （n i 3,2,1=）在x 轴的正半轴上，且i i i P A A 1-∆是 正三角形（0A 是坐标原点）．（1）尝试用1a 表示1P 点坐标；（2）求出1a 的值，继而写出2a 、3a 的值； （3）猜想n a 的表达式并用数学归纳法证明.参考答案一．选择题（共50分）1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( D )A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1an －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( B ) A ．76 B ．80 C ．86D ．923. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ A ）A ．01B ．43C ．07D ．49分析：通过观察前几项，发现末两位数字分别为49、43、01、07、…，以4为周期出现重复，由此不难求出72012的末两位数字．解：根据题意，得72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801，79=40353607…，发现：74k ﹣2的末两位数字是49，74k ﹣1的末两位数字是43，74k 的末两位数字是01， 74k+1的末两位数字是49，（k=1、2、3、4、…）， ∵2012=503×4，∴72012的末两位数字为01． 故选A ．4. 以下不等式（其中0a b >>）正确的个数是（ C ）1>②≥ ③>A ．0 B ．1 C ．2 D ．35.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有()()()22222cb b ac a +++=+，从而得离心率为51-，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ B ）A ．512- B ．152+ C ．2D ．51- 分析：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，当时，|BF|2+|AB|2=|AF|2，由此可知b 2+c 2+c 2=a 2+c 2+2ac ，整理得c 2=a 2+ac ，即e 2﹣e ﹣1=0，解这个方程就能求出黄金双曲线的离心率e ．解：类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA|=a ，|OB|=b ，|OF|=c ， 当时，|BF|2+|AB|2=|AF|2，∴b 2+c 2+c 2=a 2+c 2+2ac ，∵b 2=c 2﹣a 2，整理得c 2=a 2+ac ， ∴e 2﹣e ﹣1=0，解得 ，或 （舍去）．故黄金双曲线的离心率．6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第8件首饰上应有（C ）颗珠宝。