湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试数学一、选择题1．已知复数z 满足()()12z i i i --=，则z =（ ） A ．1i -+B ．12i -+C ．2i +D ．2i -2．已知集合{}220A x x x =--<，12log 1B x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则() RAB =（ ）A ．()1,2-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B ．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C ．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D ．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量()1,2a =-，()2,1b =-，若b 与()a b R λλ+∈垂直，则λ=（ ） A ．54B ．54-C ．12-D ．125．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（ ）A ．(1,B ．()1,2C ．()1,2-D ．1,⎛ ⎝⎭6．已知α为锐角，sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A．62- B．62+C．12 D12- 7．已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，且2bc =，则ABC △的面积为（ ）A．BC．4D．28．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（ ）A ．325659A A AB ．325659C A AC ．325659C C CD ．325659C C A 二、多项选择题9．关于二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列结论错误的是（ ）A ．展开式所有的系数和为1B ．展开式二项式的系数和为32C ．展开式中不含3x 项D ．常数项为12010．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆C ：()()22220x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值可以为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．511．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象与y轴交于点⎛⎝⎭，与x 轴的一个交点为()1,0，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．6πϕ=B ．()f x 的最小正周期为6C ．()y f x =的图像关于直线52x =对称 D ．()f x 在50,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 12．已知偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()12120f x f x --+=，当[]0,12x ∈时，()()22,02lg 2,212x x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，实数i x 是关于x 的方程()()1,2,3,...f x m i ==的解，且i x 互不相等.则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期是12B ．()y f x =图象的对称轴方程为12x k =，k Z ∈C ．当1m >时，关于x 的方程()f x m =在[]0,12x ∈上有唯一解D ．当0m =时，存在1x ，2x ，3x ，4x ，使得1234x x x x +++的最小值为0 三、填空题 13．曲线sin xxy e =在点()0,0处的切线方程为______. 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若636S =，2014126S S -=，则数列{}n a 的公差d =______. 15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是1AA 的中点，Q 是侧面正方形11BB C C 内的动点，当1D Q平面PBD 时，点Q 的轨迹长度为______，若点Q 轨迹的两端点和点1C ，1D 在球O 的球面上，则球O 的体积为______.四、解答题17sin B C A ==，②2a ab b c==+，③3b c ==，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，______，a =B 的平分线交AC 于点D ，求BD 的长.18．已知数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，()2n n b n S n =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．在如图所示的多面体中，平面ABCD ⊥平面PDC ，ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BP 的中点，且2AD =，AP =PC =（1）证明：EF⊥平面PBC ；（2）求二面角B PD C --的余弦值.20．已知椭圆C ：()22211x y a a+=>，直线l ：)x ty t R =+∈与x 轴的交点为P ，与椭圆C 交于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）证明：2211PMPN+是定值.21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X ，求随机变量X 的分布列和期望.22．已知函数()()ln sin f x x a x a R =-∈. （1）证明：当0a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； （2）当1a =时，不等式()ln x kx x f x e -≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，求实数k 的取值范围.三湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试数学参考答案一、选择题1．B 【解析】方法一：因为()()12z i i i --=，所以()()()2121111i i iz i i i i i +-===-+--+，所以12z i =-+.故选B.方法二：设z a bi =+，所以()1z i a b i -=+-，因为()()12z i i i --=，所以12z i =-+.故选B.2．C 【解析】因为{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，121log 12B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，所以() 112R AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，故选C. 3．B 【解析】根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%，故选B. 4．A 【解析】依题意，()2,21a b λλλ+=--，又b 与()a b R λλ+∈垂直， 所以()()()2,212,10a b b λλλ+⋅=--⋅-=，即540λ-=，所以54λ=.故选A. 5．A 【解析】依题意，双曲线的离心率为2，所以ba=y =，结合选项可知，渐近线经过点(1,，故选A.6．C 【解析】方法一：因为α为锐角，sin 3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以1cos cos cos cos sin sin 3333332ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.方法二：提示也可以把sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭展开，结合同角三角函数基本关系式来求解.7．D 【解析】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，即()tan 1B C +=，在ABC △中，所以tan 1A =-，所以sin 2A =，所以2ABC S =△.故选D. 8．A 【解析】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率325659A A P A =.故选A. 二、多项选择题9．BCD 【解析】因为二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令1x =可得所有项系数和为1，展开式中二项式的系数和为6264=，展开式的通项为()()2612316622rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当4r =时，得常数项为240；当3r =时，可得3x 项，所以错误的应选BCD.10．AD 【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，又点P 是圆C ：()()22220x y r r -+=>上有且仅有的一点， 所以两圆相切.两圆相切分为外切和内切两种情况，进而可求得1r =或5r =.故选AD.11．ABC【解析】因为函数经过⎛ ⎝⎭，所以cos ϕ=，所以6πϕ=，又因为1x =时，函数值为0，所以()262k k Z ππωπ+=+∈，又124T <<，所以42ππω<<，所以3πω=，所以()cos 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()f x 的最小正周期为6T =；当()2236k x k k Z πππππ≤+≤+∈，即在156,622k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈上单调递减，直线52x =是()f x 的一条对称轴.故选ABC. 12．BCD 【解析】因为函数是偶函数，且()()1212f x f x -=+，当[]0,12x ∈时，函数()f x 无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故A 错误；因为0x =是函数的对称轴，且()()1212f x f x -=+，所以函数图象关于直线()12x x k Z =∈对称，故B 正确；当[]0,12x ∈时，结合()()22,02lg 2,212x x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的单调性和图像可知，当1m >时，关于x 的方程()f x m =在[]0,12x ∈上只有唯一解，故C 正确；当0m =时，总能找到两两关于y 对称的四个零点，使得12340x x x x +++=，若4个零点不关于y 对称时，12340x x x x +++>.其中正确的是BCD.三、填空题13．0x y -=【解析】因为()cos sin x x xe x xef x e-'=，所以()01f '=，所以曲线()sin xf x e x =在点()0,0处的切线方程为0x y -=. 14．1514【解析】方法一：由等差数列性质前n 项和为公式可知， ()620141206162S S S a a +-=+=，所以12027a a +=，所以()12020202702a a S +==， 又636S =，所以11251221927a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1514d =.方法二：2014614690S S S d --=⨯=，所以1514d =. 方法三：依题意，()()111165362614191262a a d a d a d ++⎧=⎪⎪⎨+++⎪=⎪⎩，解得1514d =.15．有【解析】依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以()22200606040408100100100100K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，而87.879>，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关. 16；92π【解析】依题意，1D Q 平面PBD 时，点Q 是平面11BB C C 内的动点，所以可得1D 点与点Q 的轨迹构成的平面与平面PBD 平行，如图所示，因为P 是1AA 的中点，取1CC 中点0Q ，所以Q 点轨迹即为线段10B Q ，因为正方体棱长为2，所以10B Q =球O 的直径就是10A Q ，长为3，故球O 体积为92π.四、解答题172sin a a B C A b c b b c ==⇔==⇔==+，所以选择三个条件的任意一个条件，都可以作相应的等价变换，解答如下：在ABC △中，因为b c ==，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为0A π<<，所以23A π=； 又BD 是角B 的平分线，所以12ABD π∠=，所以4ADB π∠=，在BDC △中，由正弦定理可得，sin sin CB BD BDC C =∠，即3sin sin 46BC BDππ=，所以BD =18．解：（1）因为数列{}1n a +是首项为2，公比2q =的等比数列，由等比数列的通项公式可得12nn a +=，所以21nn a =-（2）由（1）可知，()12122212n n n S n n +-=-=---所以122n n S n +++=，所以12n n b n +=⋅， 所以2311222...2n n T n +=⨯+⨯++⋅①，由①×2可得，34221222...2n n T n +=⨯+⨯++⋅② 由①－②可得，231222...22n n n T n ++-=+++-⋅，所以()2124n n T n +=-+19．解：（1）证明：取PC 中点G ，连接DG ，FG ，点E ，F 分别为AD ，BP 的中点，又2AD =，AP =2PD =，所以PCD △是等腰三角形，所以EFGD 为平行四边形，所以EF GD ，因为平面ABCD ⊥平面PDC ，ABCD 为矩形，所以BC ⊥平面PDC ，所以BC DG ⊥， 所以PC DG ⊥，又BCPC C =，所以DG ⊥平面PBC ，所以EF ⊥平面PBC .（2）空间向量法：如图所示，在平面PDC 内，作DC Dy ⊥，分别以DC ，Dy ，DA 为x ，y ，z 轴，建立空间坐标系.所以()0,0,0D ，()2,0,0C ，()2,0,2B，()P -， 所以平面PDC 的法向量为()0,0,1m =，设平面PDB 的法向量为(),,n x y z =，()2,0,2DB =，()DP =-，所以00DP n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2200x z x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以n =，所以cos ,7m n m n m n ⋅===⋅. 所以二面角B PD C --的余弦值为7. 立体几何法：如图，在平面PDC 内，作CM PD ⊥，垂足为M ，连接BM ，BMC ∠即为二面角B PD C --的平面角，再计算求余弦值即可 思路三，利用射影面积法求二面角：设二面角B PD C --为θ，由BC ⊥平面PDC 得cos PBD PCD S S θ⋅=△△.20．解：（1）依题意可知，1b =，又2e =，所以a =所以椭圆C 的标准方程2212x y += （2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立22312x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得()2242033t y y ++-=， ()22281632280333t t t =++=+>△恒成立，由韦达定理得1232y y t +=+()122432y y t =-+， 因此，()()()()()222121212222222222222121212211111111y y y y y y t y t y t y y t y y MP NP +-++=+==++++ ()()()()()()()()22222222222221618832323216931616316119292t t t t t t t t t +++++===⨯=+⋅+⋅++.综上所述，22113MPNP+=.21．解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者进入决赛并最终夺冠，也可能是由失败者组进入决赛最终夺冠的，所以4322451111111812222222648P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）依题意，X 的可能取值为2，3，4，5，6.()211224P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2121113224P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()33131115422216P X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当5X =时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②第一场失败或第二场失败，则第5场必失败.()4511152228P X ⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当6X =时，前5场只可能失败一次，且只可能是在第一场失败或第二场失败，()51162216P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以X 的数学期望为23456 3.54416816EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．解：（1）证明：因为()()ln sin f x x a x a R =-∈，所以()1cos f x a x x '=-，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 当0a ≤时，()1cos 0f x a x x '=->恒成立，()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增. （2）由题意，对0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，sin 0xe x kx -≥恒成立，设()sin xh x e x kx =-，()sin cos xxh x e x e x k '=+- 又设()sin cos xxm x e x e x k =+-，则()sin cos cos sin 2cos 0xxxxxm x e x e x e x e x e x '=++-=≥，因此()m x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，所以()()01m x m k >=-，①当1k ≤时，()0m x >，即()0h x '>，()h x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，故有()()00h x h >=，即1k ≤适合题意.②当1k >时，()010m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若20e k π-<，则取02x π=，()000,x x ∈时，()0m x <，若20e k π-≥，则在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ，当()00,x x ∈时，()0m x <， 总之，存在00,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使()00,x x ∈时，()0m x <，即()0h x '<，所以()h x 单调递减，()()00h x h <=， 故1k >时存在()00,x 使()0h x <不合适题意， 综上，实数k 的取值范围是(],1-∞. 第（2）题也可解答如下：()sin ln x x kx e xx f x k e x-≥⇔≤.设()sin xg x e x x =-，则()()sin cos 11104xx x g x ex x x e e π⎛⎫'=+-=+->-> ⎪⎝⎭，∴()sin xg x e x x =-在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上递增，即()()sin 00xg x e x x g =->=，∴sin 1x e xx>. 而()()()000sin sin limlim lim sin cos 1x x x x x x e x e xe x x x x →→→'==+='， ∴实数k 的取值范围是(],1-∞.。