2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案
课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1
【教材分析】
本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。

“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。

第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”
；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。

这些内容是求方程近似解的基础。

本节课的
教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。

为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。

【教学目标】
1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。

2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。

3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。

【学情分析】
1.学生具备的知识与能力
(1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。

(2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。

2. 学生欠缺的知识与能力
(1)超越函数的相关计算及其图象性质.
(2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出
来.
【重点难点】
重点：零点的概念；零点存在的判定方法。

难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。

【教学策略】
引导学生用联系的观点理解有关内容，从二次函数入手，使学生了解函数零点的概念及零点存在的判定方法，降低难度，便于接受。

通过问题引出研究对象，通过探究生成新知，通过应用巩固新知。

本节学习的主要载体是函数图象。

为了使学生构建一个从具体到抽象的过程，除了二次函数图象外，应用几何画板作出了部分函数的图象，通过观察加深对定理的理解，提高课堂效率。

注重学生的学习体验，精心设置一个个问题，并以此为主线，由表及内、由浅入深，逐步突破重点和难点。

【教学流程】
教学环节教师活动预设学生活动设计意图
一
创设情境激发兴趣
借鉴历史
将数学史融
入教学之中
知识之谐
情感之悦
问题1：
方程0
3
2
2=
-
-x
x是否
有实根？若有，有几个？
观察、思考，
试用已知判断一元二次方程的根个数的方法
解决
回顾旧知识，
引出新概念
二
回顾旧知引入概念一元二次方程的根与一元
二次函数的图象之间的关
系
方程0
3
2
2=
-
-x
x
有两个实根，
1
1
-
=
x，3
1
=
x
函数3
2
)
(2-
-
=x
x
x
f
图象与x轴有2个交点)0,1
(-，)0,3(
从熟悉的情
境中发现新
知识
一般函数的图象与方程的
根的关系
方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标将结论由特
殊推广到一
般
x
y
O
x
y
c e
d
b
a
O
对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。

方程0)(=x f 是否有解等价于函数)(x f y =是否存在零点
函数的零点是数不是点
观察归纳 形成概念
辨析讨论，深化关系
方程有实数根
⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点 ⇔函数)(x f y =有零点
利用函数图象直观的特点，进一步突破函数零点与方程根相互转化这一难点。

加深学生对方程的根与函数零点的理解。

问题2：你能从下列函数图象中分析出函数有几个零点吗？
你能给你的同桌画一个函数图象，让他分析一下函数的零点个数？
函数图象与x 轴有几个交点，函数就有几个零点
三 探究判定 提炼方法
问题3：请找出函数
32)(2--=x x x f 的零点
在哪个区间内？并讨论区间端点函数值的符号关系。

找到零点1-，3 所在的区间，随着区间的扩大，端点函数值的符号由异号变成同号
给学生提供探究情境,让学生自己发现并归纳结论
观察下图，思考上述规律是否具有一般性？
0)()(<b f a f ，],[b a 上有零点 0)()(<e f a f ，],[e a 上有零点 0)()(<c f a f ，],[c a 上有零点
0)()(<d f c f ，],[d c 上无零点
从二次函数拓展到一般函数，让学生归纳出函数零点存在的条件。

《函数的零点与方程的根》教学设计点评
《函数的零点与方程的根》是解释方程与函数的联系，用函数的观点来研究方程，将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，为后面二分法求方程近似解与解不等式等其他知识奠定基础，起着承上启下的作用。

本节内容以函数图象为主要载体，通过本节课的学习研究，使学生从“数”“形”两个层面理解函数零点这个概念，突出“数形结合”的数学思想。

田红月老师这节课的教学教学设计和实施教学中体现了以下几个方面的特点：
一、紧扣教材和大纲要求，围绕教学目标，采用“问题—探究—应用”的教学模式，通过问题串引出研究对象，通过合作探究生成新知，通过应用巩固新知，以函数图象为主要载体，运用信息技术手段，并用几何画板作出了部分超越函数的图象，通过观察加深对定理的理解，使学生构建一个从具体到抽象的过程，提高了课堂效率，有效达成教学目标。

二、充分体现以学生为主体的教学理念，学生在小组合作中不仅获得了知识，还在学习体验中学会合作和分享，符合新课程理念的新要求，教学设计贴近学生，从学生熟悉的函数建构概念，进而引发学生对知识的应有和理解。

精心设置问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，有效突破了重点难点。

三、揭示数学的本质，在实施教学过程中指导学生学习方法，注
重数形结合，化归与转化等数学思想的渗透，使学生对知识的掌握不仅仅停留在浅表，还在深层次的问题上有独立思考的时间和空间。

总之，这节课比较准确地把握了学生的认知规律，数学的本质属性和数学教学的内在联系，理解准确，思路流畅，层次分明，设计紧凑，问题引领，关注过程，注重思维，是一节教学有效度很高的课。

建议在后期的教学中继续探索，并能适当降低语速，以期使每一个学生都能完全参与到教学体验中来。