圆锥曲线抛物线知识点归纳1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。

3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。

，py x py x 2222-==特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。

③焦半径公式： （称为焦半径）是：02pPF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y或2(2,2)P pt pt5一般情况归纳：题型讲解 （1）过点（－3，2）的抛物线方程为 ；y 2=－34x 或x 2=29y ， （2）焦点在直线x －2y －4=0y 2=16x 或x 2=－8y ，（3）抛物线 的焦点坐标为 ；（4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ；或或.（5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2(例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长． 解：法一 通法法二 设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、，则由抛物线定义得1212||||||||||22p pAB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++，又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24,1,y x y x ⎧=⎨=-⎩得2610x x -+=，则126x x +=，所以||8AB =．例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=，又111||||2||AA BB MM +=，∴11||||2MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立．（法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2pF ，准线2px =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ，则1212||22p pAB x x x x p =+++=++，∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211||()22r AB x x p ==++．M 1M点M 到准线2p x =-的距离120121()2222p x x p d x x x p +=+=+=++，∴圆M 与准线相切．例4．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长． 解：设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112y px =，2222y px =，又||||OA OB =，所以22221122x y x y +=+，即221212()2()0x x p x x -+-=， 1212()(2)0x x x x p -++=．∵10x >，20x >，20p >，∴12x x =．由此可得12||||y y =，即线段AB 关于x 轴对称． 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=，所以113tan 303y x ==． ∵2112yx p=，∴123y p =，∴1||243AB y p ==．例5 A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)求证：(1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB 经过一个定点解：(1)设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), 则y 12=2px 1, y 22=2px 2, ∴y 12y 22=4p 2x 1x 2,∵OA ⊥OB, ∴x 1x 2+y 1y 2=0,由此即可解得：x 1x 2=4p 2, y 1y 2=─4p 2 (定值)(2)直线AB 的斜率k=1212x x y y --=py p y y y 22212212--=212y y p+, ∴直线AB 的方程为y─y 1=212y y p+(x─p y 221),即y(y 1+y 2)─y 1y 2=2px, 由(1)可得 y=212y y p+(x─2p),直线AB 过定点C(2p,0)例6．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y 轴的最小距离．解：抛物线焦点1(,0)4F ，准线l ：14x =-，设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是M1MA1A 、1B 、1M ，设点00(,)M x y ，则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥，又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥，又101|4MM x =+，||3AB =，∴01342x +≥，所以054x ≥，即0x 的最小值是54．∴点M 到y 轴的最小距离是54，当且仅当AB 过点F 是取得最小距离例7 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴证明直线AC 经过原点O分析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA 本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决证法一：设AB ：x =my +2p ，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0由韦达定理，得y A y B =－p 2， 即y B =－Ay p2∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p上， ∴C （－2p，y B ） 则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA 故直线AC 经过原点O证法二：如图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D 则AD ∥EF ∥BC 连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BCNF ||=||||AB AF ∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |， ∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目例8 、已知抛物线 ，点A(2,3)，F 为焦点，若抛物线上的动点到N O CBD EF A y xA 、F 的距离之和的最小值为 ，求抛物线方程.分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。

解：注意到抛物线开口大小的不确定性（1）当点A 和焦点F 在抛物线的异侧时，由三角形性质得∴∴ ，解得p=2或p=6。

注意到p=6时，抛物线方程为，此时若x=2，则，与点A 所在区域不符合；当p=2时，抛物线方程为，当x=2时，，符合此时的情形。

（2）当点A 和焦点F 在抛物线的同侧时（如图），作MN ⊥准线l 于点N ，，得∴∴ ，解得 易验证抛物线 符合此时情形。

于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为 或.点评：求解此题有两大误区：一是不以点A 所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（2））导出抛物线方程后不进行检验。

事实上，在这里不论是A 在什么位置，总得成立，本题进行的检验是必要的.例9已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点 ,①求证;OB OA ⊥;②当OAB ∆的面积等于10时,求k 的值分析: 根与系数的关系、弦长公式 或应用向量解题 。

证明: ①设 ),(),,(222121y y B y y A --; )0,1(-N NO BA yx),1(),1(222121y y NB y y NA -=-=,由A,N,B 共线21222211y y y y y y -=- )()(212112y y y y y y -=-∴,又21y y ≠ 121-=∴y yOB OA y y y y y y y y OB OA ⊥∴=+=+=•∴0)1(2121222121解② 12121y y S OAB-⋅⋅=∆ 由⎩⎨⎧+=-=)1(2x k y x y 得02=-+k y ky 61,104121121212±=∴=+=-⋅⋅=∴∆k k y y S OAB 解法2: 由OM ⊥AB 知点M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出学生练习1 抛物线2x y =的焦点坐标为( )A )41,0( B )41,0(- C )0,41( D )0,41(- 答案: A 解析: 从初中学的抛物线(二次函数)到高中的抛物线2 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,M 点坐标是A )0,0(B )62,3(C )4,2(D )62,3(-答案: C解析: 把MF 转化为M 到准线的距离MK ,然后求MK MA +的最小值 3 过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A ,若621=+x x ,那么AB 等于 ( )A 10B 8C 6D 4答案: B 解析: p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121224 抛物线顶点在原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线02=+-y x 上,则其方程为( )A x y 42= 或y x 42-=B y x 42= 或x y 42-=C y x 82= 或x y 82-=D 不确定答案: C 解析: 解直线与两轴交点坐标,进而求p5 过点(0, 2)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有 ( )A 1条B 2条C 3条D 无数条 答案: C 解析: 相切与相交均能产生一个公共点6 一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为y x 22=)200(≤≤y ,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径r 的范围为 () A 10≤<r B 10<≤r C 10≤<r D 20<<r 答案: C 解析: 设圆心A(0,t),抛物线上的点为P(x,y), 列出2222)22()(t y t y t y x PA +-+=-+=转化为二次函数问题7 抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 长为)2(p a a ≥,则AB 中点M 到y 轴的最短距离是 ( )A 2aB 2pC 2p a +D 2p a -答案: D 解析: 可证弦AB 通过焦点F 时,所求距离最短8 直线l 过抛物线)0()1(2>+=a x a y 的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则=a ( )A 4B 2 C41 D 21 答案: A 解析: 所截线段长恰为通径4=a9过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ的长分别为p 、q,则qp 11+等于 ( ) A a 2 Ba 21 C a 4 D a4答案: C 解析: 考虑特殊位置,令焦点弦PQ 平行于x 轴,10 设抛物线22,(0)y px p =>的轴和它的准线交于E 点,经过焦点F 的直线交抛物线于P 、Q 两点(直线PQ 与抛物线的轴不垂直),则FEP ∠与QEF ∠的大小关系为 ( )A QEF FEP ∠>∠B QEF FEP ∠<∠C QEF FEP ∠=∠D 不确定答案: C 解析: 向量解法: 由A 、F 、B 共线得212y y p =-(重要结论),进而得出QE PE k k =11 已知抛物线12-=x y 上一定点)0,1(-B 和两动点P 、Q ,当P 点在抛物线上运动时,PQ BP ⊥,则点Q 的横坐标的取值范围是 ( )A ]3,(--∞B ),1[∞+C [-3, -1]D ),1[]3,(∞+--∞答案: D12 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A ( )A 45B 60C 90D 120答案: C 解析: ),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因为A 、F 、B 三点共线所以22112212221,221221p y y y p y y p y p y y p -=∴-=- 0),(),(2122111=+=-⋅-=⋅y y p y p y p FB FA13在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A21B 1C 2D 4 答案：C 解析：抛物线的准线方程为x =－2p ，由抛物线的定义知4+2p=5，解得P =214设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为A （a ，0）B （0，a ）C （0，a161） D 随a 符号而定 答案：C 解析：化为标准方程15以抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为 A 相交 B 相离 C 相切 D 不确定 答案：C 解析：利用抛物线的定义16以椭圆252x +162y =1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点，则|AB |的值为___________解：中心为（0，0），左准线为x =－325，所求抛物线方程为y 2=3100 x 又椭圆右准线方程为x =325，联立解得A （325，350）、B （325，－350）∴|AB 3100答案：310017对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________（要求填写合适条件的序号）解析：由抛物线方程y 2=10x 可知②⑤满足条件 答案：②⑤18 抛物线22y x =的焦点弦AB,求OB OA •的值解:由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==)21(22x k y xy 得1,012212-=∴=--y y y k y 43412122212121-=+=+=⋅∴y y y y y y x x OB OA 19设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线22+=x y 相交于B 、C 两点,点B 、C 在x 轴上的射影分别为11,C B , P 是线段BC 上的点,且适合11CC BB PC BP =,求POA ∆的重心Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析: 设),(),,(),,(002211y x P y x C y x B ,),(y x Qλ===∴2111y y CC BB PC BP , 2121212211021y y y y y y y y y y y +=+⋅+=∴ 由⎩⎨⎧-=+=)2(22x k y x y 得06)4(222=+--k y k k y 412462220-=-⋅=∴k kk k k y ①又k x y =-200代入①式得4400+=x y ② 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=33200y y x x 得⎩⎨⎧=-=y y x x 32300 代入②式得:04312=--y x由0>∆得624-<k 或624+>k , 又由①式知0y 关于k 是减函数且120≠y641264120+<<-∴y , 36443644+<<-y 且4≠y 所以Q 点轨迹为一线段(抠去一点): 04312=--y x (36443644+<<-y 且4≠y ) 16 已知抛物线22,(0)y px p =>,焦点为F,一直线l 与抛物线交于A 、B 两点,且8=+BF AF ,且AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0)①求抛物线方程; ②求ABS ∆面积的最大值解: ①设),(),,(2211y x B y x A , AB 中点 ),(00y x M 由8=+BF AF 得24,8021p x p x x -=∴=++ 又⎪⎩⎪⎨⎧==22212122px y px y 得k p y x x p y y =∴-=-0212221),(2更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 11 所以 ),24(k ppM - 依题意1624-=⋅--k p kp, 4=∴p抛物线方程为 x y 82=②由),2(0y M 及04y k l =, )2(4:00-=-x y y y l AB令0=y 得20412y x K -=又由x y 82=和)2(4:00-=-x y y y l AB 得: 016222002=-+-y y y y )162(44)414(212120202012--+=-⋅⋅=∴∆y y y y y KS S ABS6964)364(82)232)(16(24132020=≤-+=∴∆y y S ABS。