由于 |AT| = |A|, 即行列式与其转置行列式相等，从而有 R(AT) = R(A)。
对于 n 阶矩阵 A，当 |A|≠0 时 R(A)=n， |A|=0 时 R(A)<n。
当 R(A)=r时，即 A 中所有的 r+1 阶子式全等于 0，则A中 所有高于 r+1 阶的子式 = ？
这些子式必0 的子式的最高阶数。
在 B 中总能找到与D相对应的 r 阶子式 D1，且有 D1=D 或 D1 = -D 或 D1 = kD，
因此 D1≠0，从而 R(B) ≥ r = R(A)。 2) 把某行的倍数加到另一行的初等变换。
由于对交换两行的初等变换已经证明结论成立，故只需证明 把第二行的某个倍数加到第一行时，秩不减即可。
即经过一系列初等行变换后，有
重复以上的作法。如果原来矩阵 A中第一列的元素全为零， 那么就依次考虑它的第二列元素，等等。
如此作下去直到变成行阶梯形为止。 上边的叙述可按归纳法给予严格的证明。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。 证明：先证明若 A 经一次初等行变换变为 B，则 R(A) ≤ R(B); 设 R(A)=r，且 A 的某个 r 阶子式 D≠0。 1) 对交换两行与把某一行乘以非0常数k的初等变换，比如
注意行阶梯形矩阵与上三角矩阵的关系。
二 初等变换与矩阵秩的求法
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
(i) 对调两行(对调 i, j 两行，记作
)；
(ii) 以数 k≠0乘某一行中的所有元素(第i行乘k,记作ri×k)；
(iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去
(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作
R(A) ≤R(B).
又注意到 B 亦可经由一次初等行变换变为 A，故 R(B) ≤ R(A)，
因此经一次初等行变换后 R(A)=R(B)。
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初 等行变换矩阵的秩不变。
设 A 经初等列变换变为 B，则 AT 经初等行变换变为 BT， 由行初等变换不改变秩的事实知，
)。
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的 定义
(所用记号是把 “r” 换成 “c” )。
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。
定义：如果矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B，就称
矩阵 A与 B 行等价，记作
；
如果矩阵 A 经过有限次初等列变换变成矩阵 B，就称矩阵 A
与 B 列等价，记作
该形式称为 A 的标准形。其中 r = R(A).
例：化矩阵 B 为标准形，
在矩阵的初等变换中，一般很少将其化为标准形，而 是化为与之等价的行阶梯形或行最简形矩阵.
由于 R(A) 是 A 的非零子式的最高阶数。因此，若矩阵 A 中有某个 s 阶子式不为 0，则 R(A) ≥ s；若 A 中所有 t 阶子式 全为0，则 R(A)<t。
例：求矩阵 A 和 B 的秩，
解：R(A) = 2; R(B) = 3 即行阶梯形矩阵B的秩等于B的非0行的行数 本例表明，对于一般的行列式，当行数与列数较高时，
按定义求秩是很麻烦的。然而对于类似矩阵B的行阶梯形矩 阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。
行阶梯形矩阵：
行阶梯形矩阵特点：若第i行元素全为0，则i+1,…, m行的元 素全为0；否则从左数找到第一个不为0的元素，位于该元 素下及其左下的所有元素全为0。
若阶梯形矩阵每行第一个非0数字恰为1，且该数字1上 方的数字也为0的话，则称为行最简形矩阵。比如第二个矩 阵即为行最简形矩阵。
R(AT) = R(BT)， 又 R(A)=R(AT), R(B)=R(BT)，因此 R(A)=R(B)。
总之，若 A 经过有限次初等变换化为 B，则秩不变，即 R(B) = R(A)。
例：求矩阵 A 的秩： A=
R(A) = 4.
三 矩阵的标准形 对于m×n 矩阵 A，总可经过初等变换化成如下形式
第1节 矩阵的秩与初等变换
一 矩阵的秩
定义：若矩阵 A 中存在一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那么数 r 就称为矩 阵 A 的秩，记作 R(A)，并称 D 为矩阵 A 的一个最高阶非 零子式。并规定零矩阵的秩等于 0。
显然，若 A 为 m×n 矩阵，则 0 ≤ R(A) ≤ min {m, n}。
分两种情形。 (a) A 的 r 阶非零子式 D 不包含 A 的第一行，这时 D 也是 B
的 r 阶非零子式，故 R(B) ≥r； (b) D 包含 A 的第1行，这时把 B 中与 D 对应的 r 阶子式 D1
记作
从而有 R(B) ≥r = R(A)。 以上证明了矩阵A经一次初等行变换化为B后秩不减，即
；
如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B，就称矩阵 A与
B 等价，记作
。
定理：任意一个矩阵可经过一系列初等行变换化为与之行等 价的行阶梯形与行最简形矩阵。 证明：由于只需对行阶梯形矩阵中的非零行乘以特定的非0常 数，即可变成行最简形。因此只需证初等行变换可化矩阵为 行阶梯形即可。
设
对第一列的元素a11, a21,…, as1，只要其中一个不为零，用交换 两行的初等行变换，总能使第一列的第一个元素不为零，然 后从第二行开始，每一行都加上第一行的一个适当的倍数， 于是第一列除去第一个元素外就全是零了。