三角函数的图像性质：奇偶性、单调性、周期性
例题1:判断下列函数的奇偶性
（1）()()sin f x x x π=+ （2）21sin cos ()1sin x x
f x x
+-=+
例题2:求下列函数的单调区间
（1）()sin 33f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（2）()cos(2)3f x x π=- [](0,)x π
∈
例题3：求下列函数的值域
（1）32cos 6y x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，[](0,)x π∈ （2）x x y sin sin += （3）sin sin y x x =+
例题4：已知函数3cos 216y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，请写出该函数的对称轴、对称中心；用五点作图法作
出该函数的图像.
同步练习：
1、写出下列函数的周期：
（1）5sin 23y x π⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭（2）tan(2)y x π=+（3）7cos2y x =+（4）2tan 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
2、（1）求函数2sin 25y x x =+-的定义域.（2）解不等式1sin 42x π⎛
⎫-≥ ⎪⎝
⎭.
3、比较下列各数的大小：sin1︒、sin1、sin π︒
4、已知()cos
4
n f n π
=，*n N ∈，则(1)(2)(3)(2011)f f f f ++++=__________.
5、方程lg sin 3x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭实数根的个数为___________.
6、如果4
x π
≤，求2()cos sin f x x x =+的最值，并求出取得最值时x 的值.
7、写出函数1
3tan 2
3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心，并用作出该函数在[]0,x π∈的图像.
8、对于函数()f x 定义域,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
中的任意()1122,x x x x ≠，有如下结论：
（1）()()f x f x π+=. （2） ()()f x f x -= （3）(0)1f =. （4）
1212
()()
0f x f x x x ->- （5）
1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
当()tan f x x =时，以上结论正确的序号为________________. 能力提高：
1、()2sin f x wx =(01w <<),在区间0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上最大值是2，求w .
2、若2()sin sin 1f x x a x =--+的最小值为-6，求实数a 的值.
3、设定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()f x f x +=-.当02x ≤≤时，2()2f x x x =-. (1)当20x -≤≤时，求()f x 的表达式；(2)求(9)f 与(9)f -的值； (3)证明()f x 是奇函数．
三角函数的图象变换
例题1：由函数sin y x =的图象经过怎样的变换，得到函数π2sin 216y x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭的图象．
变式1：已知函数()y f x =，将()f x 的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的是1
sin 2
y x =的图象，求已知函数()y f x =的解析式．
同步练习：
1、(1)把函数sin 2y x =的图像向 平移 单位长度得到函数sin(2)3
y x π
=-的图像。

(2)把函数sin 3y x =的图像向 平移 单位长度得到函数sin(3)6
y x π
=+的图像。

(3)将函数()f x 的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2
π
个单位长度，得到的曲线是1sin 2
y x =
的图像，则函数()f x =
2、已知函数()2sin ()23x f x x R π⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
.
(1)写出函数的振幅、初相、相位、频率；（2）该函数是由sin y x =的图像怎么变换而来的？
求出A ωϕ、、，确定函数表达式
例题1：（1）已知函数()2sin 0y x ωω=>的图像与2y =的相邻的两个公共点之间的距离为3
π
，求ω的值.
（2）已知图1是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象上的一段，则（ ）
A.10π116
ωϕ=
=， B.10π
116
ωϕ=
=-， C.π
26ωϕ==
， D.π
26
ωϕ==-，
例题2：函数()()3sin 25f x x ϕ=+的图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正角是？
变式：如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，那么ϕ的最小值是？
例题3：已知函数()()sin f x A wx ϕ=+，x R ∈(其中0,0,02
A w π
ϕ>><<
)的图象与x 轴的交点
中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,求()f x 的解析式.
变式：已知函数()()sin f x A wx ϕ=+(0,0,2
A w π
ϕ>><
)的图象的一个最高点为()
2,22，由
这个最高点到相邻最低点，图像与x 轴的交与()6,0点，试求()f x 的解析式.
同步练习：
1、已知函数()sin()(0,0)f x x ωφωφπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4
M π对称，且在区间[0,]2
π
上是单调函数，求ϕ和ω的值.
2、某港口水的深度y （米）是时间t (240≤≤t ,单位：时)的函数，记作()y f t =, 下面是某日水深的数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经常期观察，()y f t =的曲线可以近似得看成函数sin y A t b ω=+的图象， (1)试根据以上的数据，求出函数()y f t =的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m 或5m 以上时认为是安全的，某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m ，试求一天内船舶安全进出港的时间。

能力提高：
1、若函数()3sin()f x x ωϕ=+对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求
4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值.
2、已知函数π()2sin ()4f x a b x a b ⎛
⎫=++∈ ⎪⎝⎭
Z ，，当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为221-．
（1）求()f x 的解析式；
（2）由()f x 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数()y g x =的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．。