绝对值的性质及化简【绝对值必考题型】例1：已知|x －2|＋|y －3|＝0，求x+y 的值。
【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c = 【例题】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。
总结：若干非负数之和为0， 。
【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋ 【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a2)23(223222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---．其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .（二）绝对值的性质【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例4】若1-=xx ，则x 是（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例6】已知a ．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例7】a ＜0，ab ＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a+2b+6D ．2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x=0，y≥0或y=0，x≤0【例9】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例12】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________【例15】已知数,,a b c则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++ccb b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc+++的值 ca 0b（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．（1）求出2x +和4x -的零点值 （2）化简代数式24x x ++-【巩固】化简1. 12x x +++2. 12m m m +-+-的值3. 523x x ++-．4. (1)12-x ；变式5.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。
（四）b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： . (2) 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 .(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 . (4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .(5) 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．（五）、绝对值的最值问题例题1: 1）当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4）当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？例题5：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值例题6：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？【例题7】|x-1|的最小值|x-1|+|x-2|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值（2）已知|x|≤3，求x的取值范围（3）已知|x|＜3，求x的取值范围（4）已知|x|≥3，求x的取值范围（5）已知|x|＞3，求x的取值范围【例题8】（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？【乘方最值问题】（1）当a取何值时，代数式（a-3)²有最小值，最小值是多少？（2）当a取何值时，代数式 (a-3)²+4有最小值，最小值是多少？（3）当a取何值时，代数式(a-3)²-4有最小值，最小值是多少？（4）当a取何值时，代数式-（a-3)²有最大值，最大值是多少？（5）当a取何值时，代数式- (a-3)²+4有最大值，最大值是多少？（6）当a取何值时，代数式-(a-3)²-4有最大值，最大值是多少？（7）当a取何值时，代数式4- (a-3)²有最大值，最大值是多少？【探究1】某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3 A4，A5五个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好？【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An共n个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好？【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617| 的最小值。
【课后练习】1.（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，2+-x 有最大值？这个最大值是多少？ （3）求54-+-x x 的最小值。
（4）求987-+-+-x x x 的最小值。
2．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．3、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
4．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．A ．a>bB ．a=bC ．a<bD ．a ≥b5 . 利用数轴分析|x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表示的是x 到2的距离与x 到-3 的距离之和，它表示两条线段相加：⑴当x> 时，发现，这两条线段的和随x 的增大而越来越大； ⑵当x< 时，发现，这两条线段的和随x 的减小而越来越大；⑶当 ≤x ≤ 时，发现，无论x 在这个范围取何值，这两条线段的和是 一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。
因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距离。
6. 利用数轴分析|x+7|-|x-1| ，这个式子表示的是x 到-7的距离与x 到1的距离之差 它表示两条线段相减：⑴当x ≤ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ； ⑵当x ≥ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值 ； ⑶当x << 时，随着x 增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。
因此，总结，式子|x+7|-|x-1| 当x 时，有最大值 ；当x 时， 有最小值 ； 7．设0=++cb a ，0>abc ，则的值是（ ）．A ．-3B ．1C ．3或-1D ．-3或1 8．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤，则ac c b b a -+-+-可能取得的最大值是 ．。