G2，…，Gm=G，使得Gk是恰含有k（k=1， 2， …， k）条边的连通图。构造方法如下： （1）任意选择Gk-1中的一条边来获得Gk ：任意 的添加一条与Gk-1边中某个顶点相关联的边，若 与这条边关联的另一个顶点不在Gk-1里，则添加 这个顶点。
这样的构造是可能的，因为G是联通的。在 添加m条边之后就获得G。设rk,mk,nk和 分别为Gk的面数、边数和顶点数。 现在用归纳法来进行证明。对G1来说关系 r1=m1-n1 +2为真，因为m1=1，n1=2 而r1=1。 现在假定 rk=mk-nk +2，我们来考虑Gk+1。 设Gk+1= Gk +（ak+1,bk+1），此时分两 种情况来讨论。
【定理12.3】若G的每个面的边界至少含k kr k 条边，则 m (n 2)
2 k 2
【例12.4】 证明K5是不可平面图 。 【例12.5】 证明K3, 3是不可平面图。
略
【定义12.3】在图G的边(u, v)上添加k个 顶点v1,v2,…,vk，从而使得边(u, v)变为 (k+1)条边(u,v),(v1, v2), …,( vk, v)， 则称为对边(u, v)的加细。两个图称为同 胚的，其中一个图是另一个图的加细图。 【定理12.4】一个图G是可平面图的充要条 件是G没有同胚于K5或K3, 3的子图。
Theorem If every vertex of G has degree d(v) < k, then G is k-colorable. Proof: Use induction on n (number of vertices). 1.If n = 1 or n = 2, the assertion is easily seen to be true. Suppose n > 2, and assume that the proposition is valid for all graphs with fewer than n vertices. 2.Choose any vertex v of G and delete it and all the edges incident to v. This leaves a subgraph H of G with n - 1 vertices satisfying the given hypothesis (i.e. that every vertex has degree less than k). By the inductive hypothesis, (H) k. Now, consider any particular k-coloring of H. Since d(v) < k, the vertices of H that were adjacent to v in G are colored with at most k 1 different colors. Thus, there’s at least one color left with which we may color v, so that it is of a different color to each of its neighbors. This gives a coloring of G using the same colors as H. Therefore, G is k-colorable.
略
【推论12.2】G为n（n 3）阶m条边的简 单平面图，则m 3n – 6，且等号成立当 且仅当G是极大平面图。 【推论12.3】G简单的平面图，则G中至少 有一个顶点其度数小于等于5。 【定义12.5】若在非平面图G中删除一条边， 所得图为平面图, 则称图G是极小非平面图。 例如，K5，K3,3都是极小非平面图。
因为G为简单平面图，所以G中无环无重边。又因 为G是至少3个顶点的极大平面图，所以G无割点 和桥，于是G中各面的边界均为圈且次数均大于 等于3。下面只需证明各面的次数不会大于3。
略
否则，假设存在面Ri，deg(Ri)>3，见下图。 在G（平面嵌入）中，若v1与v3不相邻，在Ri内 部添加边(v1,v3)不破坏平面性，这和G是极大平 面图相矛盾，因而v1与v3必然相邻，由于Ri的存 在，此时边（v1,v3）必然在Ri的外部。类似地， v2与v4也必然相邻而且边（v2,v4）也在Ri的外 部。此时，无论怎样画，边（v1,v3）必然与边 （v2,v4）相交。这与G的平面性矛盾。故假设不 成立。
H
c
e
G
d
d
【例12.2】 K1(平凡图)，K2，K3，K4都 是平面图，其中，K1，K2，K3本身就已经 是平面嵌入，K4的平面嵌入为下图(4)所 示。K5－e (K5删除任意一条边)也是平面 图，它的平面嵌入可表示为下图中(5).完 全二部图K1,n(n≥1), K2,n(n≥2),也都是 平面图，其中标准画法画出的K1,n已经是 平面嵌入，K2,3的平面嵌入可由图12.1.2 中(6)给出。图12.1.2中(1)，(2)，(3) 分别为K4, Ky－e, K2,3的标准画法。
第一种情形：ak+1,bk+1都是Gk的顶点,则 rk+1=rk+1,mk+1=mk+1,且nk+1=nk。 因此rk+1=mk+1-nk+1 +2成立。
ak+1
ak+1
bk+1
bk+1
b) a)
第二种情形：新边（ ak+1,bk+1 ）的两个 顶点之一不在Gk中。假定ak+1在Gk中，但 是bk+1不在Gk中，添加这条边不产生任何 面，因为bk+1必然是在边界上有ak+1的一 个面中，所以rk+1=rk。另外， mk+1=mk+1，而且nk+1=nk+1。所以 rk+1=mk+1-nk+1 +2仍然成立
(b)
(c)
d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
略
【定义12.4】设G为平面图, 如果任意两个 互不邻接的顶点u，v，使得G +（u , v） 成为不可平面图，则称图G是极大可平面图。
略
【定理12.5】G为n（n 3）阶简单的连通 平面图，G为极大可平面图当且仅当G的每 个面的次数均为3。 【证】必要性：
此定理称为Kuratowski定理。
略
【例12.7】对K5插入2度顶点，或在K5外放置一 个顶点使其与K5上的若干个顶点相邻，共可产生 多少个6阶简单连通非同构的非平面图？
(Hale Waihona Puke )(b)(c)(d)
(e)
(f)
略
【例12.8】由K3,3加若干条边能生成多少个 6阶连通的简单的非同构的非平面图？
(a)
v1 v2 v3
v5
……
Ri
v4
略
充分性： 这是显然的，次数为3的面构成一个K3，其中任 何两个顶点都已经相邻。所以，把G进行平面嵌 入之后，在任何一个内部面之内都无法再增加新 边了，否则就会出现重边，跟G是简单平面图矛 盾。而如果试图横跨两个内部面增加一条边时， 必然跟这两个内部面的某些边产生交叉，而如果 试图把该边画到无限面中时，也必然与围成无限 面的某条边发生交叉或出现重边，因为无限面也 是3次的。所以，G中不能再增加任何一条边还能 保持其平面性和简单性。故，G是极大平面图。
第12章 平面图与图着色
Three kinds of Coloring Problem
1. Vertex
2. Edge
3. Face
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Vertex Coloring
A simple graph is said to be kcolorable if its vertices can be colored using up to k different colors in such a way that each vertex is of a single color and any two adjacent vertices have different colors. (定义12.7) χ(G)=k
Homework
习题12.1, P292 5,
12.3平面图的对偶图
【定义12.6】 设G是平面图的某一个平面嵌入， 其几何对偶图G*构造如下： （1）在G的每个面Ri中放置G*的一个顶点vi； （2）设e为G的一条边，若e在G的面Ri和Rj的 公共边界上，作G*的边e*与e相交，且e*关 * * *的顶点 v 和 v ，即 e* (v* , v* )，不与其 联G i j i j 它任何边相交；若e是G的桥且在Ri的边界上， * * * *是以 vi 则e 为顶点的环，即 。 vi* ) e (vi ,
【定义12.2】设G是平面图，若G的边围成一个封 闭区域，该区域内的任意两点间都可以作一条曲 线相连接，此曲线不遇到G的任何边和顶点，则 此区域称为G的一个面。界定一个面的所有边称 为该面的边界。边界中的边数称为该面的度，并 规定桥在计算度时算作两条边。对于面f 的边界 上的一条边e，也称是f 的一条边界。面f 的周线 是由面f 的边界构成且把面f 包含在内的圈。两个 面若有公共边则称它们相邻。一个面与它边界上 的边和点称为相关联。
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Vertex Coloring
max d v 1 k v V G
/mmss/coursesONLINE/graph/
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【定理12.7】 χ(G)=1 当且仅当G是零图。 【定理12.8】 χ(Kn)=n 。 【定理12.10】 设G中至少含一条边，则 χ(G)=2 当且仅当G为二部图。