第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.向量常用黑体小写字母 、、、b a 等表示,即n 维列向量记为n a a a 21 ,n 维行向量记为),,,(21n .行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T(1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求.x解（1）32 T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2 .)1,2,4,5(T（2）由,0253 x 得x )53(21])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T .)8,2/7,1,2/5(T 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象.§4.2 向量组的线性相关性1、向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.例如，一个n m 矩阵mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列mj j j j a a a 21 ),2,1(n j 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i 组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。

2、线性组合与线性表示定义2 给定向量组s A ,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数.给定向量组s A ,,,:21 和向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使,2211s s k k k则称向量 是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出).例 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21 由于212 , 因此是21, 的线性组合.例2 n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21称为n 维单位坐标向量组，任意一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都能由它们线性表示。

如何判断向量 能由向量组m ,,,21 线性表示？定理 1 向量 能由向量组m ,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21m A 的秩等于矩阵),,,,(21 m B 的秩.例 判断向量T )11,1,3,4(1 与T )11,0,3,4(2 是否各为向量组,)5,1,2,1(1T T )1,1,1,2(2 的线性组合. 若是, 写出表示式.解 设,12211 k k 对矩阵)(121施以初等行变换:1115111312421990330550421000000110421000000110201 易见，秩 )(121 秩.2),(21 故1 可由21, 线性表示，且由上面的初等变换可取,21 k 12 k 使.2211 类似地，对矩阵),,(221 施以初等行变换:1115011312421990430550421000100110421易见, 秩,3)(221 秩.2)(21 故2 不能由21, 线性表示.3、向量组的线性相关性 (一)、线性相关性概念 定义 3 给定向量组,,,,:21s A 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k使,02211 s s k k k则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ①包含零向量的任何向量组是线性相关的; ②向量组只含有一个向量 时，则（1）0 的充分必要条件是 是线性无关的； （2）0 的充分必要条件是 是线性相关的；③仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；④两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221不难验证,02321 因此321,, 是3个线性相关的3维向量. (二)、线性相关性的判定容易看出：向量组)2(,,,21 s s 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1 s 个向量线性表示.向量组m A ,,,:21 构成矩阵）（m A ,,,21 ，向量组A 的线性相关就是齐次线性方程组02211 m m x x x 有非零解。

定理2 向量组m ,,,21 线性相关的充要条件是它所构成的矩阵),,,(21m A 的秩小于向量的个数m ；向量组线性无关的充要条件是m A R )(例5 讨论n 维单位坐标向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21的线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E ,,,100010001是n 阶单位矩阵.由,01 E 知n R )E (，即)(E R 等于向量组中向量的个数, 故此向量是线性无关的.例已知,1111 ,5202 ,7423试讨论向量组321,, 及21, 的线性相关性.解 ),,,321( A 7514212011213r r r r 5502202013252r r,000220201,32)(向量的个数 A r 故向量组,,,321 线性相关; 因前两个向量构成的矩阵的秩为2等于向量的个数，所以，向量组21, 线性无关. 例 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321解 对矩阵)(321 ,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:1115111312421990330550421000000110421秩,,,32)(321 所以向量组321 ,,线性相关.例9 证明：若向量组 ,,线性无关, 则向量组, , 亦线性无关.证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321 k k k（1）成立，整理得0)()()(322131 k k k k k k由 ,,线性无关，故00322131k k k k k k （2）因为110011101,02 故方程组（2）仅有零解.即只有0321 k k k 时（1）式才成立. 因而向量组, , 线性无关.定理 (1)相关向量组增加向量后仍然相关， 线性无关的向量组减少向量后仍然线性无关.（2）无关向量组的每个向量增加分量后仍然线性无关. 相关向量组减少分量后仍然相关（3）当向量组的维数小于向量的个数时, 此向量组必线性相关.（4）若向量组m ,,,21 线性无关，而向量组 ,,,1m 线性相关, 则向量 可由m ,,,21 线性表示，且表示是唯一的§4.3 向量组的秩一、两个向量组的等价 定义4 设有两向量组,,,,:;,,,:2121s m B A若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价.按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在),,2,1(,,,21t j k k k sj j j使,),,,(21212211sj j j s s sj j j j k k k k k k所以,),,,(),,,(2122221112112121st s s t t s t k k k k k kk k k其中矩阵t s ij t s k K )(称为这一线性表示的系数矩阵.若,n t t s n s B A C 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B 为这一表示的系数矩阵.,),,,(),,,(212221112112121sn s s n s n b b bbn b bb b bc c c 而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,A 为这一表示的系数矩阵.T s T T ms m m s s T m T T a a a a a a a a a2121222211121121所以，矩阵A 经初等行变换变为矩阵B ，则矩阵A 的行向量组与矩阵B 行向量组等价；矩阵A 经初等列变换变为矩阵B ，则矩阵A 的列向量组与矩阵B 列向量组等价。

二、极大线性无关组定义5 设有向量组,,,,:21s A 若在向量组A 中能选出r 个向量r ,,,21 , 满足(1) 向量组r A ,,,:210 线性无关;(2) 向量组A 中任意1 r 个向量(若有的话)都线性相关.则称向量组0A 是向量组A 的一个极大线性无关组(简称为极大无关组).注: 含有零向量的向量组没有极大无关组例 全体n 维向量构成的向量组记作n R , 求n R 的一个极大无关组. 解 因为n 维单位坐标向量构面的向量组n E ,,, 21:是线性无关的，又知，n R 中的任意1 n 个向量都线性相关，因此向量组E 是n R 的一个极大无关组 三、向量组的秩定义6 向量组s ,,,21 的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩, 记为),,,(21s r .规定: 由零向量组成的向量组的秩为0. 例 n R 的秩等于n . 三、矩阵与向量组秩的关系定理 设A 为n m 矩阵，则矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.可知，若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式, 则r D 所在的r 列就是A 的列向量组的一个极大无关组; r D 所在的r行即是A 的行向量组的一个极大无关组.。

以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量组的极大无关组；同理，也可以向量组中各向量为行向量组成矩阵，通过作初等列变换来求所求向量组的极大无关组.例 求向量组：T )5312(1 α，T )3134(2 α，T)7323(3 α，T )171514(4 α的秩和一个极大无关组定理5 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则 )()(A r B r .推论1 等价的向量组的秩相等.推论2 设n s s m n m B A C , 则)}.(),(min{)(B r A r C r推论3 设向量组B 是有向量组A 的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组A 能由向量组B 线性表示，则向量组B 是向量组A 的一个极大无关组.§4.4 向量空间一、向量空间与子空间定义7 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即(1) 若,,V V 则V ; (2) 若,,R V 则V . 则称集合V 为R 上的向量空间.记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间.注：3 n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间;2 n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1 n 时,一维向量空间1R 表示数轴.3 n 时, n R 没有直观的几何形象.例 判别下列集合是否为向量空间},,|),,,0({221R x x x x x V n T n解1V 是向量空间. 因为对于1V 的任意两个元素,,,,T n a a )0(2 ,,,,12)0(V b b T n有122)0(V b a b a T n n ,,, .,,,12)0(V a a T n 例 判别下列集合是否为向量空间},,|),,,1({222R x x x x x V n T n解2V 不是向量空间.因为若,,,,,22)1(V a a T n 则.,,,,22)222(2V a a T n 例 设 ,为两个已知的n 维向量, 集合},|{R V试判断集合V 是否为向量空间. 解V是一个向量空间. 因为若,111 ,222则有,)()(212121V ,)()(111V k k k即V 关于向量的线性运算封闭.这个向量空间称为由向量 ,所生成的向量空间.注: 通常由向量组m a a a ,,,21 所生成的向量空间记为}.,,,|{212211R a a a V m m m定义8 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V , 则称1V 是2V 的子空间.例 3R 中过原点的平面是3R 的子空间二、向量空间的基与维数定义9 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ,,,21 , 且满足 (1) r ,,1 线性无关; (2)V中任一向量都可由r ,,1 线性表示.则称向量组r ,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V dim 并称V 为r 维向量空间.注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基;(2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组,V的维数就是向量组的秩;(3) 若向量组r ,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为}.,,,,|{2111R x x V r r r此时,V又称为由基r ,,1 所生成的向量空间.(4)如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为,2211r r a a a x§4.5 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组00221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)若记mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211,n x x x X 1 则方程组(1)可写为向量方程 0 AX (2)称方程(2)的解n x x x X 21为方程组(1)的解向量.齐次线性方程组解的性质:性质1 若21, 为方程组(2)的解, 则21 也是该方程组的解. 性质2 若1 为方程组(2)的解, k 为实数, 则1 k 也是(2)的解. 注: 齐次线性方程组若有非零解, 则它就有无穷多个解. 由性质知：线性方程组0 AX 的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此构成一个向量空间. 称此向量空间为齐次线性方程组0 AX 的解空间.定义10 齐次线性方程组0 AX 的有限个解t ,,,21 满足: (1) t ,,,21 线性无关; (2)0 AX 的任意一个解均可由t ,,,21 线性表示.则称t ,,,21 是齐次线性方程组0 AX 的一个基础解系.注：方程组0 AX 的一个基础解系即为其解空间的一个基, 易见方程组0 AX 基础解系不是唯一的，其解空间也不是唯一的.按上述定义，若t ,,,21 是齐次线性方程组0 AX 的一个基础解系. 则0 AX 的通解可表示为 t t k k k X 2211其中t k k k ,,,21 为任意常数.当一个齐次线性方程组只有零解时, 该方程组没有基础解系; 而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,怎样去求它的基础解系? 下面的定理回答了这两个问题.定理12 对齐次线性方程组0 AX ，若n r A r )(,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于r n , 其中n 是方程组所含未知量的个数.注：定理的证明过程实际上已给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.且若已知r n ,,,21 是线性方程组0 AX 的一个基础解系，则0 AX 的全部解可表为,2211r n r n c c c x(4)其中r n c c c ,,,21 为任意实数. 称表达式（4）线性方程组0 AX 的通解.例 求下列齐次线性方程组的一个基础解系:.0,0223,0322432143214321x x x x x x x x x x x x 解 对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换:A111121233212323132r r r r111154105410 21r r11115410000031r r 000054101111 21r r0000541043012)1(r.000054104301于是原方程组可同解地变为:,5443432431x x x x x x 因此基础解系为 1(3,4,1,0),T .)1,0,5,4(2T例求齐次线性方程组 0377,02352,0432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解.解 对系数矩阵A 作初等行变换，化为行最简矩阵:A137723521111,00007/47/5107/37/201得到原方程组的同解方程组,)7/4()7/5()7/3()7/2(432431 x x x x x x令43x x ,01,10即得基础解系 1 ,017/57/2 2 ,107/47/3并由此得到通解4321x x x x 1C017/57/22C107/47/3).,(21R C C 二、非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (5)它也可写作向量方程 b AX (6)性质3 设21, 是非齐次线性方程组b AX 的解, 则21 是对应的齐次线性方程组0 AX 的解.性质4 设 是非齐次线性方程组b AX 的解, 为对应的齐次线性方程组0 AX 的解，则 是非齐次线性方程组b AX 的解.定理13（结构定理） 设* 是非齐次线性方程组b AX 的一个解,是对应齐次线性方程组0 AX 的通解, 则* x 是非齐次线性方程组b AX 的通解.例 求线性方程组122202122432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解例 求下列方程组的通解 123451234523457.3232,22623.x x x x x x x x x x x x x x解~A23621202312137111110000002/23312/1102/9202/101 由),()(~A r A r 知方程组有解.又,2)( A r ,3 r n 所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组2/2332/2/922/5432531x x x x x x x令 543x x x ,001 ,010 .100分别代入等价方程组对应的齐次方程组中求得基础解系1 ,0012/12/12 ,010103 .10032求特解:令,0543 x x x 得,2/91 x .2/232 x故所求通解为1C x0012/12/12C010103C 10032 .0002/232/9其中,1C ,2C 3C 为任意常数.例 求解下列非齐次线性方程组:.0895,4433,13432143214321x x x x x x x x x x x x 解 对方程组的增广矩阵作如下初等变换：089514431311311)(~b A A 13123r r r r176401764011311 23r r 000001764011311 241r000004147231011311 21r r .000004147231045432301在上面的初等变换中没有作过列对换，因此可立即求出特解 和对应齐次线性方程组的基础解系：.104743,012323,00414521原方程组的解为 ,2211 c c x 其中21,c c 为任意数.。