第一章习题1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.(1) √2是无理数.是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1(2) 5能被2整除.是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0(3)现在在开会吗?不是命题.(4)x+5>0.不是命题.(5) 这朵花真好看呀!不是命题.(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p↔q真值:1(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p↔q真值:0(8) 2008年10月1日天气晴好.是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一.(9) 太阳系以外的星球上有生物.是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.(10) 小李在宿舍里.是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.(11) 全体起立!不是命题.(12) 4是2的倍数或是3的倍数.是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1(13) 4是偶数且是奇数.是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学.是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:11.3 判断下列各命题的真值.(1)若 2+2=4,则 3+3=6.(2)若 2+2=4,则 3+3≠6.(3)若 2+2≠4,则 3+3=6.(4)若 2+2≠4,则 3+3≠6.(5)2+2=4当且仅当3+3=6.(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.答案:设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.(1)p→q,真值为1.(2)p→┐q,真值为0.(3)┐p→q,真值为1.(4)┐p→┐q,真值为1.(5)p↔q,真值为1.(6)p↔┐q,真值为0.(7)┐p↔q,真值为0.(8)┐p↔┐q,真值为1.1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号。
p:今天是1号。
q:明天是2号。
符号化为：p→q真值为：1（2）如果今天是1号，则明天是3号。
p:今天是1号。
q:明天是3号。
符号化为：p→q真值为：01.5将下列命题符号化。
（1）2是偶数又是素数。
（2）小王不但聪明而且用功。
（3）虽然天气很冷，老王还是来了。
（4）他一边吃饭，一边看电视。
（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。
（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。
（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。
(意思为：如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班)（8）不经一事，不长一智。
答案：（1）设p：2是偶数，q：2是素数。
符号化为：p∧q （2）设p：小王聪明，q：小王用功。
符号化为：p∧q（3）设p：天气很冷，q：老王来了。
符号化为：p∧q（4）设p：他吃饭,q：他看电视。
符号化为：p∧q（5）设p：天下雨，q：他乘公共汽车。
符号化为：p→q（6）设p：天下雨，q：他乘公共汽上班。
符号化为：q→p（7）设p：天下雨，q：他乘公共汽车上班。
符号化为：q→p 或⌝q→⌝p（8）设p：经一事，q：长一智。
符号化为：⌝p→⌝q1.6设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)（2）(p↔r)∧(¬p∨s)（3）(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)（4）¬(p∨(q→(r∧¬p))→(r∨¬s)1．7 判断下列命题公式的类型。
（1）p→(p∨q∨r)由真值表可知，该命题公式为重言式。
由真值知命题公式的类型是：重言式（3(4)(p→q)→(﹁q→﹁p)解:其真值表为:由真值表观察,此命题为重言式. (5)( ﹁p→q)→(q→﹁p)解:由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式.（7）（p∨⌝p）→((q∧⌝q)∧⌝r)结论：此命题为矛盾式1.7(8)由此可以知道，上式为非重言式的可满足式. (9) ((ｐ→ｑ)∧(ｑ→ｒ))→(ｐ→ｒ)解:（10）（（p∨q）→r）↔s结论：此命题为非重言式可满足式1.8 用等值演算法证明下列等值式（1）（p∧q）∨(p∧﹁q) ⇔p证明：（p∧q）∨(p∧﹁q) （分配律）⇔p∧(q∨﹁q) （排中律）⇔p∧1 (同一律)⇔p（3）⌝（p ↔ q）⇔ ( ( p ∨ q ) ∧⌝ ( p ∧ q ) )证明：⌝（p ↔ q）⇔⌝ ( ( p → q ) ∧ (q → p ) )⇔⌝ ( (⌝ p ∨ q ) ∧ (⌝ q ∨ p ) )⇔⌝ (⌝ p ∨ q ) ∨⌝ ( ⌝q ∨ p )⇔ ( p ∧⌝ q ) ∨ ( q ∧⌝ p )⇔ ( ( p ∧⌝ q ) ∨ q ) ∧ ( (p ∧⌝ q ) ∨⌝ p )⇔ ( ( p ∨ q ) ∧ ( ⌝ q ∨ q ) ) ∧ ( ( p ∨⌝ p ) ∧ ( ⌝ q ∨⌝ p) ) ⇔ (( p ∨ q ) ∧1) ∧ (1 ∧ ( ⌝ q ∨⌝ p) )⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( ⌝ q ∨⌝ p)⇔ ( p ∨ q ) ∧⌝ ( p ∧ q )1.9 用等值演算法判断下列公式的类型。
（1）⌝（（p∧q）→p）.解：（1）⌝（（p∧q）→p）⇔⌝（⌝（p∧q）∨p）蕴含等值式⇔⌝（⌝（p∧q））∧⌝p 德·摩根律⇔p∧q∧⌝p 双重否定律⇔ p∧⌝p∧q 交换律⇔0∧q 矛盾律⇔0 零律即原式为矛盾式.(2)((p→q)∧ (q→p))↔(p↔q)解：((p→q)∧ (q→p))↔(p↔q)⇔(p↔q) ↔(p↔q)⇔((p↔q) → (p↔q)) ∧((p↔q) → (p↔q))⇔(P↔q) → (p↔q)⇔⌝(p↔q) ∨(p↔q))⇔1即((p→q)∧ (q→p))↔(p↔q)是重言式。
(3) (⌝p→q)→(q→⌝p).解：(⌝p→q)→(q→⌝p)⇔⌝((p∨q))∨ (⌝q∨⌝p)⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨⌝p)⇔(⌝p∨(⌝p∧⌝q))∧(⌝q∨(⌝q∨⌝p))⇔( (⌝p∨⌝p)∨⌝q)∧((⌝q∨⌝q)∨⌝p]⇔ (⌝p∨⌝q)∧(⌝p∨⌝q)⇔ (⌝p∨⌝q)或(⌝p→q)→(q→⌝p)⇔⌝((p∨q))∨ (⌝q∨⌝p)⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨⌝p)⇔（(⌝p∧⌝q)∨⌝q）∨⌝p结合律⇔⌝p∨⌝q 吸收律结论：该公式为可满足式。
1.12(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）⇔←(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)⇔ (¬p∧(¬q∨¬r)) ∨(p∧q∧r)⇔ (¬p∧¬q)∨(¬p∧¬r)∨(p∧q∧r)⇔ ((¬p∧¬q)∧(r∨¬r)) ∨((¬p∧¬r)∧(q∨¬q))∨(p∧q∧r)⇔(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)⇔ (¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)⇔ ((¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧¬r)∨(p∧q∧r)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔∑(0,1,2,7)故其主析取范式为(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）⇔∑(0,1,2,7)由最小项定义可知道原命题的成真赋值为(0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)成假赋值为(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）⇔∏(3,4,5,6)（3）⌝（p→q）∧q∧ r解：⌝（p→q）∧q∧ r⇔⌝（⌝p∨q）∧q∧r⇔p∧⌝q∧q∧r⇔0既⌝（p→q）∧q∧ r是矛盾式。
⌝（p→q）∧q∧ r的主合取范式为M0 ∧M1 ∧M2∧M3 ∧M4 ∧M5 ∧M6 ∧M7，成假赋值为：000，001，010，011，100，101，111．13.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值。
∨∨∧（1）①p→(q→r);② q→(p→r).解：p→(q→r)⇔﹁p∨ (q→r)⇔﹁p∨ (﹁q∨r)⇔﹁p∨﹁q∨r⇔(﹁p∧(q∨﹁q)∧(r∨﹁r))∨((p∨﹁p)∧﹁q∧(r∨﹁r))∨((p∨﹁p)∧(q∨﹁q) ∧r)⇔(﹁p∧q∧r)∨(﹁p∧q∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r)∨(﹁p∧﹁q∧﹁r)∨(p∧﹁q∧r)∨ (p∧﹁q∧﹁r)∨ (﹁p∧q ∧r)⇔∑(0,1,2,3,4,5,7)q→(p→r)⇔﹁q∨ (﹁p∨r)⇔﹁p∨﹁q∨r⇔∑(0,1,2,3,4,5,7)所以两式等值。
（2）① p↑q⇔←(p∧q)⇔(p∧(q∨←q))∨(q∧(p∨←p))⇔ (p∧q)∨(←p∧←q) ∨(←q∧p) ∨(←p∧←q)⇔ (←p∧q) ∨(←p∧←q) ∨(p∧←q)⇔m1∨m0∨m2⇔∑(0,1,2)(p∧←q)处原为(←q∧p)，不是极小项②令A = p↑qB= ←(p∧q)C=(←p∧q) ∨(←p∧←q) ∨(p∧←q)D = p↓q则B*=←(p∨q) ? p↓q=D且A?B?C所以D?A*?C*C* = (←p∨q)∧(←p∨←q)∧(p∨←q)?∏（0，1，2）?∑(3)所以①!?②1.15某勘探队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人判断如下：甲说：这不是铁，也不是铜；乙说：这不是铁，是锡；丙说：这不是锡，是铁；经实验室鉴定后发现，其中一人两个判断都正确，一个人判对一半，另一个人全错了。
根据以上情况判断矿样的种类。
解：p：是铁q：是铜r：是锡由题意可得共有6种情况：1)甲全对，乙对一半，丙全错：(﹁p∧﹁q)∧ ((﹁p∧﹁r)∨(p ∧r)) ∧(r∧﹁p) ①2)甲全对，丙对一半，乙全错：(﹁p∧﹁q)∧（（﹁r∧﹁p）∨(r ∧p)）∧(p∧﹁r) ②3)乙全对，甲对一半，丙全错：（﹁p∧r）∧((﹁p∧q) ∨(﹁q∧p)) ∧(r∧﹁p) ③4)乙全对，丙对一半，甲全错：（﹁p∧r）∧((﹁r∧﹁p) ∨(r∧p)) ∧(p∧q) ④5)丙全对，甲对一半，乙全错：(﹁r∧p) ∧( (﹁p∧q)∨(p∧﹁q)) ∧(p∧﹁r) ⑤6)丙全对，乙对一半，甲全错：(﹁r∧p) ∧((﹁p∧﹁r)∨(p∧r)) ∧(p∧q) ⑥则①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥⇔1①⇔(﹁p∧﹁q∧﹁p∧﹁r∧r∧﹁p) ∨(﹁p∧﹁q∧p∧r∧r∧﹁p) ⇔0∨0⇔0②⇔(﹁p∧﹁q∧﹁r∧﹁p∧p∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r∧p∧p∧﹁r) ⇔0∨0⇔0③⇔(﹁p∧r∧﹁p∧q∧r∧﹁p)∨（﹁p∧r∧﹁q∧p∧r∧﹁p）⇔ (﹁p∧q∧r)∨0⇔﹁p∧q∧r④⇔（﹁p∧r∧﹁r∧﹁p∧p∧q）∨（﹁p∧r∧r∧p∧p∧q）⇔0∨0⇔0⑤⇔(﹁r∧p∧﹁p∧q∧p∧﹁r) ∨ (﹁r∧p∧p∧﹁q∧p∧﹁r)⇔0∨(p∧﹁q∧﹁r)⇔ p∧﹁q∧﹁r⑥⇔(﹁r∧p∧﹁p∧﹁r∧p∧q) ∨ (﹁r∧p ∧p∧r∧p∧q)⇔0∨0⇔0所以①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥⇔（﹁p∧q∧r）∨（p∧﹁q∧﹁r）而这块矿石不可能既是铜又是锡，所以只能是1.16判断下列推理是否正确，先将命题符号化，再写出前提和结论，让后进行判断。