反比例函数知识点归纳
九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题
一、基础知识
(一)反比例函数的概念
1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;
2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;
3.反比例函数的自变量,故函数图象与x轴、y轴无交点.
(二)反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称).
(三)反比例函数及其图象的性质
1.函数解析式:()
2.自变量的取值范围:
3.图象:
则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是).
如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.
图1
图2
5.说明:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个
分支分别讨论,不能一概而论.
(2)直线与双曲线的关系:
当时,两图象没有交点;当
时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
(3)反比例函数与一次函数的联系.(四)实际问题与反比例函数
1.求函数解析式的方法:
(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.
2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.
(五)充分利用数形结合的思想解决问题.三、例题分析
1.反比例函数的概念
(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
A.y=3x B.
C.3xy=1 D.
(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
A.B.C.D.
答案:(1)C;(2)A.
2.图象和性质
(1)已知函数是反比例函数,
①若它的图象在第二、四象限内,那么
k=___________.
②若y随x的增大而减小,那么
k=___________.
(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第
________象限.
(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限.
(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,
则直线不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比
例函数图象上的两点,
则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限
(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是().
A.B.C.
D.
答案:(1)①②1;(2)一、三;(3)四;(4)C;(5)C;(6)B.
3.函数的增减性
(1)在反比例函数的图象上有两点
,,且,则的值为().
A.正数B.负数C.非
正数D.非负数
(2)在函数(a为常数)的图象上
有三个点,,,则函数值、、的大小关系是().
A.<<B.<<
C.<<D.<<
(3)下列四个函数中:①;②;
③;④.
y随x的增大而减小的函数有().A.0个B.1个C.2个D.3个
(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而
(填“增大”或“减小”).
答案:(1)A;(2)D;(3)B.
注意,(3)中只有②是符合题意的,而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小.
4.解析式的确定
(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的().
A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.不能确定
(2)若正比例函数y=2x与反比例函数
的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.
(3)已知反比例函数的图象经过点
,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.
(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数
()的图象在第一象限内的交点为P (x 0,3).
①求x 0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.
(5)为了预防“非典”,某学校对教室采用
药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:
①药物燃烧时y关于x的函数关系式为
___________,自变量x 的取值范围是
_______________;药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________.
②研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室;
③研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?
答案:(1)B;(2)4,8,(,);
(3)依题意,且,解得.
(4)①依题意,解得
②一次函数解析式为,反比例函数解析式为.
(5)①,,;
②30;③消毒时间为(分钟),所以消毒有效.
5.面积计算
(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则().
A.B.
C.D.
第(1)题图
第(2)题图
(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的面积S,则().
A.S=1 B.1<S<2
C.S=2 D.S>2
(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线上,且S△AOB=3,求m的值.
第(3)题图
第(4)题图
(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的
垂线P2 Q 2,P2 R 2,垂足分别为Q 2,R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长,并比较它们的大小.
(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.
第(5)题图
第(6)题图
(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,
AB⊥x轴于B且S△ABO=.
①求这两个函数的解析式;
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.
(7)如图,已知正方形OABC 的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在
x轴、y轴上,点B在函数(k>0,x>0)的图象上,点P (m,n)是函数(k>0,x >0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y 轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.
①求B点坐标和k的值;
②当时,求点P的坐标;
③写出S关于m的函数关系式.
答案:(1)D;(2)C;(3)6;
(4),,矩形O Q 1P1 R 1的周长为8,O Q 2P2 R 2的周长为,前者大.(5)1.
(6)①双曲线为,直线为;
②直线与两轴的交点分别为(0,)和(,0),且A(1,)和C(,1),
因此面积为4.
(7)①B(3,3),;
②时,E(6,0),;
③.
6.综合应用
(1)若函数y=k1x(k1≠0)和函数(k2 ≠0)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2().
A.互为倒数B.符号相同
C.绝对值相等D.符号相反
(2)如图,一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点:A (,1),B(1,n).
①求反比例函数和一次函数的解析式;
②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.
(3)如图所示,已知一次函数(k≠0)
的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数(m≠0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.
①求点A、B、D的坐标;
②求一次函数和反比例函数的解析式.
(4)如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD (O是坐标原点).
①利用图中条件,求反比例函数的解析式
和m的值;
②双曲线上是否存在一点P,使得△POC 和△POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(5)不解方程,判断下列方程解的个数.
①;②.
(2)①反比例函数为,一次函数为
;
②范围是或.
(3)①A(0,),B(0,1),D(1,0);
②一次函数为,反比例函数为
.
(4)①反比例函数为,;
②存在(2,2).
(5)①构造双曲线和直线,它们无交点,说明原方程无实数解;
②构造双曲线和直线,它们有两个交点,说明原方程有两个实数解.。