题目：多分辨率分析＆连续小波变换TITLE: MULTIRESOLUTION ANALYSIS & THE CONTINUOUS WA VELETTRANSFORM院系：电气信息工程系专业：通信工程姓名：学号：毕业设计（论文）外文资料翻译多分辨率分析＆连续小波变换多分辨率分析虽然时间和频率分辨率的问题是一种物理现象（海森堡测不准原理）无论是否使用变换，它都存在，但是它可以使用替代方法分析，称为信号多分辨率分析（MRA）。

MRA，如它的名字一样，分析了不同分辨率不同频率的信号。

每个频谱分量不能得到同样的解决是因为在STFT的情况下。

MRA是为了在高频率时，能够得到良好的时间分辨率和较差的频率分辨率，而在低频率时，能够得到良好的频率分辨率和较差的时间分辨率而设计的。

这种方法是十分有意义的，特别是当手头的信号高频成分持续时间短和低频成分持续时间长时。

幸运的是，在实际应用中所遇到的信号往往是这种类型。

例如，下面显示了这种类型的信号。

它有一个贯穿整个信号相对较低的频率分量，而在信号中间有一个短暂的、相对较高的频率成分。

连续小波变换连续小波变换作为一种替代快速傅里叶变换办法来发展，克服分析的问题。

小波分析和STFT的分析方法类似，在这个意义上说，就是信号和一个函数相乘，{\它的小波}，类似的STFT的窗口功能，并转换为不同分段的时域信号。

但是，STFT和连续小波变换二者之间的主要区别是：1、Fourier转换的信号不采取窗口，因此，单峰将被视为对应一个正弦波，即负频率是没有计算。

2、窗口的宽度是相对于光谱的每一个组件变化而变化的，这是小波变换计算最重要的特征。

连续小波变换的定义如下：公式3.1从上面的方程可以看出，改变信号功能的有两个变量，τ和s，分别是转换参数和尺度参数。

psi(t)为转化功能，它被称为母小波。

母小波一词得名是由于如下所述的两个小波分析的重要性质：这个词意味着小波浪。

小指的条件是本（窗口）函数的有限长度的（紧支持）。

波指的条件是这个函数是振荡的。

这个词意味着母波在支持不同类型波的转型过程中起主要作用，或者叫母小波。

换句话说，母小波是产生其他窗口功能的原型。

这个术语的解释和它在STFT中的意义一样，它关系到窗口的位置，因为窗口是通过信号转换而来的。

这个词，很明显，对应变换域的时间信息。

但是，我们没有一个频率参数，因为我们之前STFT。

相反的我们具有放缩参数，它定义为$ 1/frequency $。

这个词的频率是留给STFT的。

下一节对放缩参数进行了更详细的描述。

放缩小波分析中的参数放缩类似地图使用参数。

正如在地图中，高尺度对应一个非详细的整体视图（信号），低尺度对应的详细视图。

同样，在频率方面，（高比例）低频率对应的信号整体信息（即通常跨越整个信号），而（小比例）高频率对应一个信号中的一个隐藏模式的详细信息（通常持续时间相对较短的时间）。

余弦信号的对应，下图例子中给出不同尺度。

图3.2幸运的是在实际应用中，（高频率）低比例的信号不持续存在于整个信号中，他们的不同如图所示，但是他们通常会在尽可能短的时间内爆发，或者尖峰时刻。

高比例（低频率）信号通常会贯穿于整个信号之中。

放缩，作为一个数学运算，无非是扩张或压缩信号。

更大尺度对应扩张（或伸出）信号而小尺度对应压缩信号。

图中给出的信号都是同一个余弦信号产生的，他们是经过放缩功能之后的扩张或压缩的版本。

在上面的数字中，S = 0.05是最小的比例，和S = 1是最大的比例。

在数学方面的功能，若f（t）是一个给定的函数，f（st）都对应一个版本，若s>1则f(t)对应压缩版本；若s<1则对应扩张版本然而，在小波变换的定义，缩放词是在分母，因此，上述声明相反的成立，即，s> 1，规模扩张的信号，s<1，压缩信号。

在本文中都将采用这种解释。

连续小波变换计算消费物价指数在这一节将解释上述方程。

设x（t）是要分析信号。

母小波选择作为进程中的所有窗口的原型。

所有被使用的扩张（或压缩）和移出母小波版本的Windows。

有许多是用于此目的的职能。

有两个候选函数：Morlet小波和墨西哥帽函数，他们是为小波分析的例子是在本章稍后使用。

一旦选择了母小波开始计算S = 1和连续小波变换为S，体积更小，大于“ 1”所有值计算。

然而，在信号的不同，一个完整的转换通常没有必要。

对于所有的实际目的，信号是带限的，因此，在变换的尺度有限区间计算通常就足够了。

在这项研究中，使用了一些为有限区间的价值观，如将在本章后面介绍。

为方便起见，该过程将开始从规模S = 1和将继续为S，即增加值，分析将开始着手从高向低频率。

这第一个值将对应到最压缩的小波。

而S值增加，小波会扩张。

小波被放置在一开始即时间对应为0，在小波函数尺度“1”乘以信号，然后对所有次积分。

该整合的结果再乘以数量不变1/sqrt{S}的。

乘法是为了让转换后的信号将在每一个规模相同的能量能源正常化的目的。

最后的结果是转换，即价值，对连续小波变换在时间价值为零，规模为S=1。

换句话说，它是值对应的tau =0，在时间尺度平面s=1。

在S=1的小波规模为，然后向右转向tau，在本地令t=tau，上面的公式计算得到在t=tau，在时频平面S=1。

此过程反复进行，直到小波到达信号结束。

对于一个上述规模的时间尺度平面上的点s=1现在完成。

然后，S是增加了一个较小的值。

请注意，这是一个持续变换，因此，无论是tau和S必须不断递增。

但是，如果这种转换需要由计算机计算，那么这两个参数是由一个足够小的步长增加。

这对应于采样时间尺度的模型。

重复上述过程的每一个价值秒每一个给定值计算的S填补了当时规模平面对应一行。

当过程是为完成一切所需的值，信号的连续小波变换已计算完毕。

下面的数字说明了整个过程的步骤：图3.3在图 3.3中，信号和小波函数列的头有四个不同的值。

该信号是在图 3.1所示的信号被截断的版本。

规模值是1，对应的最低规模，或最高频率。

注意它是如何紧凑（蓝色窗口）。

它应为最高频率分量的信号存在，在狭窄。

小波函数的四个不同的位置都显示在图中分别为s=2,s=40,s=90,s=140。

在每一个位置，它是乘以信号。

显然，该产品是非零只有在信号的下降，对小波支持区域，它是零别处。

通过将及时小波，信号是局部的时间，通过改变s的值，信号在尺度（频率）的本地化。

如果信号的频谱组成部分，对应于当前值（这是在这种情况下，s=1），此次与在此位置存在频谱分量信号小波产品给出了一个比较大的值。

如果频谱分量对应到目前的价值不在于信号目前，产品的价值会比较少，或零。

图3.3信号在s=1，t= 100ms的窗口的宽度频谱分量。

连续小波变换在图3.3信号将产生约时间尺度大值低100毫秒，和其他地方的小值。

另一方面，对于高频率，连续小波变换将给予较大的值几乎信号的整个持续时间，因为低频率在任何时候都存在。

图3.4图3.5图3.4和3.5说明了他们对尺度值分别为S = 5和S = 20处理的过程相同。

注意窗口宽度是如何随规模越来越大（降低频率）的变化而变化的。

作为窗口宽度的增加，转换从低频率的部分开始。

因此，每个比例和每次转换时间（间隔），一个时间尺度平面点都要被计算。

在一个尺度计算中构建时间尺度平面的行，并在不同尺度的计算中构的时间尺度平面的列。

现在，让我们来看一个例子，看看小波变换到底是怎样进行的。

注意图3.6所示的是一个非平稳信号，这和STFT时所举的例子类似，但在不同的频率。

如图所示，信号包含四个频率分量分别是30赫兹，20赫兹，10赫兹和5赫兹。

图3.6图3.7是连续小波变换这个信号（简称CWT）。

请注意，轴线是平移和尺度，而不是时间和频率。

然而，平移是和时间严格相关的，因为它表示母小波的位置。

母小波变换可以被看作是时间，在t = 0时结束。

但是，尺度完全是另一回事。

请记住，规模参数方程3.1的s本来就是频率的倒数。

换句话说，无论我们怎么说，关于小波变换的性质的频率分辨率，它的逆都将会在时域信号中出现小波变换的特征。

图3.7注意，图3.7为小规模相对应的更高的频率，即作为规模增大，因此，在零附近有鳞片图的一部分，实际上对应于最高频率分析，频率下降，而高比例对应到最低频率。

请记住，有30赫兹的信号分量（最高频率），它作为第一最高频率，这在0到30范围内进行变换；然后是20 赫兹分量，第二最高的频率，等等。

5 赫兹分量出现在平移轴的最后（如预期），较高比例（低频率）再次出现按预期方式。

图3.8现在，回顾一下这些属性：不同于STFT的其中有一个在任何时候和频率不变的变换方法，WT具有在高频率时有良好的时间分辨率和较差的频率分辨率，而在低频率时有良好的频率和较差的时间分辨率。

为了更好地说明该决议的性质图3.8从另一个角度显示了在图3.7相同的变换：在图3.8，低尺度（高频率）有较好的时间分辨率规模决议（窄规模，它的意思是没有任何含糊的、精确的规模），对应的频率分辨率较差。

同样，低尺度具有较高的频率分辨率（宽规模，它意味着任何信号绝对的精确值），对较低的频率信号有更好的频率分辨率。

在图3.7和3.8轴正常化，并应据此进行评估。

粗略地讲平移轴100点对应到1000ms，并将尺度轴150点对应到40赫兹频带（在变换时平移轴和尺度轴均不符合秒、赫兹，他们只是在计算样本数）。

时间和频率分辨率在本节中，我们将采取的小波变换在该决议的性能一探究竟。

请记住，该决议的问题是我们从STFT的切换为WT最主要的原因。

图3.9说明是常用的解释时间和频率的决议应得到解释。

图3.9中的每个方块对应于小波变换在时频平面上的价值。

请注意，箱子有一定的非零区，这意味着，在时频平面上某一点的值不可知的。

所有在时频平面的落在一个盒子内的点用一个WT值来表示。

图3.9让我们来仔细看看在图3.9：首先要注意的是，虽然箱子的宽度和高度变化，但面积是恒定的。

这是每个方块代表一个时频平面上平等的部分，但给予不同比例的时间和频率。

请注意，在低频时，箱子的高度短（相当于更好的频率决议，因为有准确频率值），但它们的宽度较长（对应的时间分辨率差，因为有确切时间值）。

以更高频率的箱子减少宽度，即获得更好的时间分辨率，以及箱子的增加，即高度，频率分辨率越来越穷。

本节结束前，值得一提的是如何区分看起来像STFT的案件。

回想一下，在短时Fourier变换的时间和频率分辨率是窗口的分析，这是整个分析选择，即时间和频率是不变的决议一旦确定宽度。

因此，时频平面构成中的STFT的案件广场。

无论箱子的尺寸，所有箱子的地区，短时傅立叶变换和WT两者是相同的，由海森堡的不平等决定。

作为一个总结，一个区域是每个窗口（STFT的）或母小波（简称CWT）固定的功能，而不同的窗口或母小波，可能会导致不同的领域。